数学
YoutubeYouTubeチャンネル一様収束おじさん今週の複素積分式変形チャンネル数学複素積分

【今週の複素積分】一様収束おじさんシリーズ【式変形チャンネル】

数学
2020.11.15

複素積分について
一様収束おじさんという
黄色い全身タイツをまとったキャラが
教えてくれる
式変形チャンネルのシリーズ動画です。

この記事では
一様収束おじさんが
講義している動画をまとめています。

黄色いタイツを着ている点以外は
特に変わったところはないです。
普通の教科書で学ぶのが退屈な方に。

目次
  1. 一様収束おじさん
    1. 特徴
    2. 今週の複素積分
  2. SNSの反応
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一様収束おじさん

特徴

  • 黄色の全身タイツを着用（黄色いモジモジ君）
  • 式変形チャンネルの「今週の複素積分」という
    シリーズ動画で講義を勤めている
  • 「やあ、みんな！一様収束おじさんだよ」
    「今週も複素積分でリフレッシュ！」で始まる
  • ONとOFFの差が激しい

今週の複素積分

線積分の定義

緊張していたためか
初登場でも自己紹介をしないまま
講義がスタート

$$I=\int_C (z-\alpha)^n dz$$
$$C:z(t) = \alpha + r e^{it} (0 \le t \le 2\pi )$$

こちらの複素積分を求める、という内容です。

複素積分を説明

\(z(t)\)がどんな複素平面を動くかといえば
\((0,\alpha)\)を中心とした半径\(r\)の円周上を動きます。

\(z(t)\)を代入して\(t\)の積分の形にします。

$$\int_C (z-\alpha)^n dz\\
= \int_0^{2\pi} re^{int} ire^{it} dt\\
= ir^{n+1} \int_0^{2\pi}e^{it(n+1)}dt$$

ここで\(n\)についての場合分けが必要になる。

$$I=\begin{cases}
i \int_0^{2\pi} dt = 2 \pi i & (n = -1)\\
ir^{n+1}[ \frac{1}{i(n+1)}e^{i(n+1)t}]_0^{2\pi} dt = 0 & (n \neq -1)
\end{cases}$$

複素積分の留数定理につながっていきます。

参考動画

複素積分についての動画はこちら

 

コーシーの積分定理

$$I=\int_C \frac{1}{z^2+1} dz$$
$$C:z(t) = 1 + e^{it} (0 \le t \le 2\pi )$$

 

 

周回積分の利用

$$I=\int_C \frac{z}{z^2+1} dz$$
$$C:z(t) = 2 e^{it} (0 \le t \le 2\pi )$$

コーシーの積分公式

$$I=\int_C \frac{e^{2z}}{2z +1} dz$$
$$C:z(t) = e^{it} (0 \le t \le 2\pi )$$
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SNSの反応

 

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