一様収束おじさん
特徴
- 黄色の全身タイツを着用(黄色いモジモジ君)
- 式変形チャンネルの「今週の複素積分」という
シリーズ動画で講義を勤めている - 「やあ、みんな!一様収束おじさんだよ」
「今週も複素積分でリフレッシュ!」で始まる - ONとOFFの差が激しい
今週の複素積分
線積分の定義
緊張していたためか
初登場でも自己紹介をしないまま
講義がスタート
$$C:z(t) = \alpha + r e^{it} (0 \le t \le 2\pi )$$
こちらの複素積分を求める、という内容です。
複素積分を説明
\(z(t)\)がどんな複素平面を動くかといえば
\((0,\alpha)\)を中心とした半径\(r\)の円周上を動きます。
\(z(t)\)を代入して\(t\)の積分の形にします。
$$\int_C (z-\alpha)^n dz\\
= \int_0^{2\pi} re^{int} ire^{it} dt\\
= ir^{n+1} \int_0^{2\pi}e^{it(n+1)}dt$$
ここで\(n\)についての場合分けが必要になる。
$$I=\begin{cases}
i \int_0^{2\pi} dt = 2 \pi i & (n = -1)\\
ir^{n+1}[ \frac{1}{i(n+1)}e^{i(n+1)t}]_0^{2\pi} dt = 0 & (n \neq -1)
\end{cases}$$
複素積分の留数定理につながっていきます。
参考動画
複素積分についての動画はこちら
毎週出せるように頑張ります!
今週の複素積分01https://t.co/3wlW4hr2Qx pic.twitter.com/n5xhbGug5b
— 式変形チャンネル Goya Hideki (@G_sen_sei) June 9, 2020
コーシーの積分定理
$$C:z(t) = 1 + e^{it} (0 \le t \le 2\pi )$$
【コーシーの積分定理】
正則関数について、閉曲線上の複素積分の値は常に0になる。証明は杉浦光夫『解析入門2』より。個人的に、最後の不等式評価で4^nが消えるところがうまいなぁと思います。(再現はできても、自力では思いつけない)https://t.co/JotnE5FigR pic.twitter.com/bokFpRZRjw
— 式変形チャンネル Goya Hideki (@G_sen_sei) November 14, 2018
周回積分の利用
$$C:z(t) = 2 e^{it} (0 \le t \le 2\pi )$$
コーシーの積分公式
$$C:z(t) = e^{it} (0 \le t \le 2\pi )$$
SNSの反応
一様収束おじさんマジで意味わからなくて好き
今週の複素積分02 https://t.co/FDxgaY6mnb @YouTubeより— あるふぁ🏮🌽 (@luigi_0829_2) June 16, 2020
続いてる、、、一様収束おじさん、、、キャ、キャッチー、、、(?) pic.twitter.com/BwE7G9KLtc
— のどか、 (@nodooom) June 16, 2020
一様収束おじさん動画の最初は意識して低い声出してるのに解説進むとだんだん素に戻ってきて
でカメラ見るときに思い出してまた低い声になるの好き— 浴衣 (@yukatapeninsula) June 30, 2020
一様収束おじさん楽しみにしてます。 https://t.co/OHdUcyaJaM
— グラン (@_huanda) June 9, 2020
今週の複素積分01 https://t.co/Qj8yKDgJEU @YouTubeより
一様収束おじさんでもうダメ— はとす (@HTS24816) June 17, 2020