数学

【今週の複素積分】一様収束おじさんシリーズ【式変形チャンネル】

数学

複素積分について
一様収束おじさんという
黄色い全身タイツをまとったキャラが
教えてくれる
式変形チャンネルのシリーズ動画です。

この記事では
一様収束おじさんが
講義している動画をまとめています。

黄色いタイツを着ている点以外は
特に変わったところはないです。
普通の教科書で学ぶのが退屈な方に。

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一様収束おじさん

特徴

  • 黄色の全身タイツを着用(黄色いモジモジ君)
  • 式変形チャンネルの「今週の複素積分」という
    シリーズ動画で講義を勤めている
  • 「やあ、みんな!一様収束おじさんだよ」
    「今週も複素積分でリフレッシュ!」で始まる
  • ONとOFFの差が激しい

今週の複素積分

線積分の定義

緊張していたためか
初登場でも自己紹介をしないまま
講義がスタート

$$I=\int_C (z-\alpha)^n dz$$
$$C:z(t) = \alpha + r e^{it} (0 \le t \le 2\pi )$$

こちらの複素積分を求める、という内容です。

複素積分を説明

\(z(t)\)がどんな複素平面を動くかといえば
\((0,\alpha)\)を中心とした半径\(r\)の円周上を動きます。

\(z(t)\)を代入して\(t\)の積分の形にします。

$$\int_C (z-\alpha)^n dz\\
= \int_0^{2\pi} re^{int} ire^{it} dt\\
= ir^{n+1} \int_0^{2\pi}e^{it(n+1)}dt$$

ここで\(n\)についての場合分けが必要になる。

$$I=\begin{cases}
i \int_0^{2\pi} dt = 2 \pi i & (n = -1)\\
ir^{n+1}[ \frac{1}{i(n+1)}e^{i(n+1)t}]_0^{2\pi} dt = 0 & (n \neq -1)
\end{cases}$$

複素積分の留数定理につながっていきます。

参考動画

複素積分についての動画はこちら

 

コーシーの積分定理

$$I=\int_C \frac{1}{z^2+1} dz$$
$$C:z(t) = 1 + e^{it} (0 \le t \le 2\pi )$$

 

 

周回積分の利用

$$I=\int_C \frac{z}{z^2+1} dz$$
$$C:z(t) = 2 e^{it} (0 \le t \le 2\pi )$$

コーシーの積分公式

$$I=\int_C \frac{e^{2z}}{2z +1} dz$$
$$C:z(t) = e^{it} (0 \le t \le 2\pi )$$
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よせあつめ
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