指数方程式の解の存在条件\(9^x-k(3^x + 3^{-x}) + 9^{-x} + \frac{k^2}{4} +k-17 =0\)
$$9^x-k(3^x + 3^{-x}) + 9^{-x} + \frac{k^2}{4} +k-17 =0$$
が実数解を持つ\(k\)の範囲を求めよ。
自力で解く
\(9^x-k(3^x + 3^{-x}) + 9^{-x} + \frac{k^2}{4} +k-17 =0\)
について
\(3^x =t\)とおく。
\(t^2 – k(t + \frac{1}{t}) + \frac{k^2}{4}-k -17 =0\)
\((t+\frac{1}{t})^2 -k(t + \frac{1}{t})+ \frac{k^2}{4}-k -19 =0\)
あっ！
\(s = t +\frac{1}{t} \)とおくと
次のようになります。
\(s^2 + ks +\frac{k^2}{4} -k -19 = 0\)
まずは実数解を持つならば
判別式\(D \ge 0\)を満たす。
よって
$$D = k^2 -4(\frac{k^2}{4} -k -19)$$
また相加平均相乗平均の関係より
\(s\)がとりえる範囲は
\(s =t + \frac{1}{t} \ge 2 t\cdot \frac{1}{t} = 2\)
\(s =2\) のときに(左辺)\(\le 0\)となればいい。
よって\(s =2\) を代入すると
ちょっとまった
\(\frac{k^2}{4} -3k -15 \le 0 \)
①②より解は
$$6-\sqrt{51} \le k \le 6-\sqrt{51}$$
先ほどの指摘したとおり
この解は不正解！
間違いの原因
- ケアレスミス
- \(k\)の十分条件を間違える
では正解を見てみましょう
解答
文字が逆ですが
\(s= 3^x ,t =s+\frac{1}{s}\)と置いて代入します。
また相加相乗平均の関係から\(s \ge 2\)となります。
\(s^2 – ks +\frac{k^2}{4} + k -19 = 0\)
平方完成の形に式変形します。
$$(s -\frac{k}{2})^2 +k -19 =0$$
最小値ととるのは\(s=\frac{k}{2}\)のとき
また\(s\)の範囲は\(s\ge 2\)より
この範囲で解を持つかどうかを
\(\frac{k}{2}\)の値の場合分けをして調べる。
(i)\(\frac{k}{2}< 2 \)つまり\(k < 4 \)のとき
\(s=2\)のとき(左辺)\(\le 0\)となればよいので
\(4 -2k +\frac{k^2}{4} + k -19 \le 0\)
よって
\(k^2 -4k -60 \le 0 \)
$$-6 \le k \le 10$$
また\(k < 4 \)より
(ii)\(2 \le \frac{k}{2} \)つまり\(k \ge 4 \)のとき
\(s=\frac{k}{2}\)のとき(左辺)\(\le 0\)となればよいので
\(k – 19 \le 0\)よって
$$k \le 19$$
また\(k \ge 4 \)より
であれば解を持つ
以上(i)(ii)より③または④の範囲となるのは
この問題のポイント
- \(s= 3^x ,t =s+\frac{1}{s}(s\ge 2)\)と置けるか
- \(k\)の場合分けを正しくできるか
ケアレスミスと\(k\)の場合分けがうまくできず
間違えてしまいました。
この問題にも挑戦
指数方程式 \(9^x + 15^x = 25^x\)
指数方程式 \(8^x -3a 4^x +4a = 0\)
指数方程式 指数公式\(4^x -1 =2^{x-1/2}\)
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