【鈴木貫太郎】指数方程式の解の存在条件\(9^x-k(3^x + 3^{-x}) + 9^{-x} + \frac{k^2}{4} +k-17 =0\)

鈴木貫太郎
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指数方程式の解の存在条件\(9^x-k(3^x + 3^{-x}) + 9^{-x} + \frac{k^2}{4} +k-17 =0\)

問題
$$9^x-k(3^x + 3^{-x}) + 9^{-x} + \frac{k^2}{4} +k-17 =0$$
が実数解を持つ\(k\)の範囲を求めよ。
信州大2020 指数方程式の解の存在条件

自力で解く

\(9^x-k(3^x + 3^{-x}) + 9^{-x} + \frac{k^2}{4} +k-17 =0\)
について
\(3^x =t\)とおく。
\(t^2 – k(t + \frac{1}{t}) + \frac{k^2}{4}-k -17 =0\)
\((t+\frac{1}{t})^2 -k(t + \frac{1}{t})+ \frac{k^2}{4}-k -19 =0\)

あっ!

途中から\(k\)の符号を間違えている!
入試の緊張感やトレーニングから遠ざかって
何年もたつためかこのようなケアレスミスが
あったりします。

\(s = t +\frac{1}{t} \)とおくと
次のようになります。

\(s^2 + ks  +\frac{k^2}{4} -k -19 = 0\)

まずは実数解を持つならば
判別式\(D \ge 0\)を満たす。
よって
$$D = k^2 -4(\frac{k^2}{4} -k -19)$$

$$k \ge -19 …①$$

また相加平均相乗平均の関係より
\(s\)がとりえる範囲は
\(s =t + \frac{1}{t} \ge 2 t\cdot \frac{1}{t} = 2\)
\(s =2\) のときに(左辺)\(\le 0\)となればいい。

よって\(s =2\) を代入すると

ちょっとまった

\(s =2\) のときに(左辺)\(\ge 0\)でも
解がもつパターンもあるので
これは十分な条件ではない

\(\frac{k^2}{4} -3k -15 \le 0 \)

$$6-\sqrt{51} \le k \le 6-\sqrt{51}…②$$

①②より解は

$$6-\sqrt{51} \le k \le 6-\sqrt{51}$$

先ほどの指摘したとおり
この解は不正解!

間違いの原因

  • ケアレスミス
  • \(k\)の十分条件を間違える

では正解を見てみましょう

解答

信州大2020 指数方程式の解の存在条件

文字が逆ですが
\(s= 3^x ,t =s+\frac{1}{s}\)と置いて代入します。
また相加相乗平均の関係から\(s \ge 2\)となります。

\(s^2 – ks  +\frac{k^2}{4} + k -19 = 0\)

平方完成の形に式変形します。

$$(s -\frac{k}{2})^2 +k -19 =0$$

最小値ととるのは\(s=\frac{k}{2}\)のとき
また\(s\)の範囲は\(s\ge 2\)より
この範囲で解を持つかどうかを
\(\frac{k}{2}\)の値の場合分けをして調べる。

(i)\(\frac{k}{2}< 2 \)つまり\(k < 4 \)のとき

\(s=2\)のとき(左辺)\(\le 0\)となればよいので

\(4 -2k +\frac{k^2}{4} + k -19 \le 0\)
よって
\(k^2 -4k -60 \le 0 \)

$$-6 \le k \le 10$$

また\(k < 4 \)より

$$-6 \le k < 4 …③$$

(ii)\(2 \le \frac{k}{2} \)つまり\(k \ge 4 \)のとき

\(s=\frac{k}{2}\)のとき(左辺)\(\le 0\)となればよいので
\(k – 19 \le 0\)よって

$$k \le 19$$

また\(k \ge 4 \)より

$$4 \le k \le 19 …④$$

であれば解を持つ

以上(i)(ii)より③または④の範囲となるのは

$$-6 \le k \le 19$$

 

この問題のポイント

  • \(s= 3^x ,t =s+\frac{1}{s}(s\ge 2)\)と置けるか
  • \(k\)の場合分けを正しくできるか

ケアレスミスと\(k\)の場合分けがうまくできず
間違えてしまいました。

この問題にも挑戦

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