【鈴木貫太郎】指数方程式 9^x + 15^x = 25^x

鈴木貫太郎

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指数方程式

問題
$$9^x + 15^x = 25^x$$
の解を求めよ
指数方程式

自力で解く

\(3^x = s ,5^x = t\)と置いてみる。

これしかやり方はなさそうだけど…

$$s^2 + st = t^2$$

\(s>0,t>0より\)

$$s = \frac{\sqrt{5}-1}{2}t$$

さて、ここからどうするか?

最初は\(x = \log_3 s = \log_5 t\)から
これを代入して
\(x\)について解こうとするも
式が複雑になりすぎて

これは違う

と感じ、路線変更。
$$s = \frac{\sqrt{5}-1}{2}t$$
に\(3^x,5^x\)を代入。

\(3^x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}5^x\)

そこから両辺を\(5^x\)で割っています。
これならさっきよりは
良さそうです。

\(x\)について解くと

$$x=\frac{\log \frac{\sqrt{5}-1}{2}}{\log \frac{3}{5}}=\log_{\frac{3}{5}} \frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

ずいぶん\(x\)の値が複雑だけど
これが答えなのか…

 

解答

指数方程式

解答をみると
最初に両辺を\(3^x\)で割っています。
やっていることは
私が自力で解答しているやり方と
ほぼ同じです。
\(3^x\)で割ったほうが
logの底が1以上になるので
そちらの方がいいのかもしれません。

 

この問題のポイント

  • \(\Large(\frac{5}{3}\Large)^x\)という形にして
    一つの塊で見れるかどうか

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