整数問題はとっつきにくくないですか？
解法に慣れて落ち着て解くには、
問題のパターンをあらかじめ経験しておくことが大事です。
この記事では整数問題を集めてみました。
整数問題の問題集
\(p^q+q^p=\)素数となる素数\(p,q\)の組を全て求めよ
合同式modを使って解く
平方数の余りが等しくなることから、
数を絞っていって、因数分解。
整数の掛け算（因数）の組み合わせが
数が限られるので、そこに持っていく。
平方数の余りの性質から
平方数はmod 3では余りは0 or 1に限られる。
右辺は3の倍数となっている。つまりmod 3で余りは0。
以上から左辺がmod 3 では
$$a^2 \equiv 0 or b^2 \equiv 0(mod 3)$$
の時しか成立しない。
つまりa,bは3の倍数であることがわかります。あとは
$$a=3m,b=3n$$とおいて計算すれば、cも3の倍数となります。
存在しないことを証明するのによく使われる背理法から
実際に等式に代入して矛盾を導いて証明しています。
平方数の余りの性質をそのまま使っています。
式変形が大変な骨の折れる問題
$$a^2+b^2+c^2+d^2=n^2-6$$
$$a+b+c+d\le n$$
$$a\ge b\ge c\ge d$$
を満たす非負整数(a,b,c,d,n)をすべて求めよ。
相加平均・相乗平均の関係を使った問題
(1)は$$xyz \le 3z$$に気づけれるかがポイント。
そこからx,yの組み合わせがかぎられるのでそこから解くことができます。
(2)はかなり難しい。
相加平均相乗平均の関係から
$$x^3+y^3+z^3 – 3xyz \ge 0$$
を導き、そこから
$$x^3+y^3+z^3 – xyz \gt 0$$
を証明して存在しないことが示せます。
これは本番の試験でいきなり解くには、
普段からかなりのパターンの問題を解いていないと
着想するのが難しいと思われます。
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整数問題の問題集
指数方程式の問題集
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— 鈴木貫太郎 (@Kantaro196611) September 22, 2020
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