【鈴木貫太郎】整数問題の問題集

鈴木貫太郎

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整数問題はとっつきにくくないですか?

解法に慣れて落ち着て解くには、
問題のパターンをあらかじめ経験しておくことが大事です。

この記事では整数問題を集めてみました。

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整数問題の問題集

\(p^q+q^p=\)素数となる素数\(p,q\)の組を全て求めよ

整数、素数、京都大学入試問題 数学 Japanese university entrance exam questions Kyoto University

合同式modを使って解く

整数問題

平方数の余りが等しくなることから、
数を絞っていって、因数分解。
整数の掛け算(因数)の組み合わせが
数が限られるので、そこに持っていく。

平方数の余りの性質から

九州大学 整数問題 高校数学 Japanese university entrance exam questions

平方数はmod 3では余りは0 or 1に限られる。
右辺は3の倍数となっている。つまりmod 3で余りは0。

以上から左辺がmod 3 では
$$a^2 \equiv 0 or b^2 \equiv 0(mod 3)$$
の時しか成立しない。

つまりa,bは3の倍数であることがわかります。あとは

$$a=3m,b=3n$$とおいて計算すれば、cも3の倍数となります。

存在しないことを証明するのによく使われる背理法から
実際に等式に代入して矛盾を導いて証明しています。

平方数の余りの性質をそのまま使っています。

式変形が大変な骨の折れる問題

問題
$$a^2+b^2+c^2+d^2=n^2-6$$
$$a+b+c+d\le n$$
$$a\ge b\ge c\ge d$$
を満たす非負整数(a,b,c,d,n)をすべて求めよ。
東大 不定方程式不等式

相加平均・相乗平均の関係を使った問題

東大 整数問題 Mathematics Japanese university entrance exam Tokyo University

(1)は$$xyz \le 3z$$に気づけれるかがポイント。
そこからx,yの組み合わせがかぎられるのでそこから解くことができます。

(2)はかなり難しい。
相加平均相乗平均の関係から

$$x^3+y^3+z^3 – 3xyz \ge 0$$

を導き、そこから
$$x^3+y^3+z^3 – xyz \gt 0$$
を証明して存在しないことが示せます。

これは本番の試験でいきなり解くには、
普段からかなりのパターンの問題を解いていないと
着想するのが難しいと思われます。

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コメント

  1. […] 【鈴木貫太郎】整数問題の問題集 整数問題はとっつきにくくないですか?… […]

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