鈴木貫太郎さんから学ぶネイピア数e

鈴木貫太郎

鈴木貫太郎さんって誰?という方はこちらへ

  • 埼玉県出身の50代男性
  • 数学系YouTubeチャンネルを運営
  • ロードバイク、将棋、料理など多趣味
  • アタック25に出場経験あり。トップ賞を獲得。

家族4人で暮らしていたが2人の子供たちの大学進学で
時間ができたことで一念発起してYouTubeをはじめる。

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鈴木貫太郎さんから学ぶネイピア数\(e\)

鈴木貫太郎さんのネイピア数\(e\)の講義は
次の4つを証明することに収束します。

  1. (定義)\(e=\lim_{n \to \infty}(1+ \frac{1}{n} )^n\\
    =\lim_{n \to 0}(1+n)^\frac{1}{n}\)
  2. (定理)\(y=e^x\)のとき\(y’=e^x\)
  3. (定理)\(y=e^x\)においての\(x=0\)での接線の傾きが1
    (言い換えると\(y’_{(x=0)}=1\))
  4. (定理)\(y=\log_e x\)のとき\(y’=\frac{1}{x}\)

いくつかネイピア数の動画を出されていますが
内容は上記4つの証明です。

ネイピア数 自然対数の底\(e\)とは

ネイピア数 自然対数の底e とは

ネイピア数\(e\)の定義

定義というのは
ルールに似たようなもので
そのように定めた出発点になります。

サッカーで(キーパー以外は)ボールを手で触ってはいけない

そう決めたから

ストライクを3つ取られるとアウトになる

そう決めたから

将棋で飛車は斜めには進めない

そう決めたから

そして、

\(\lim_{n \to \infty}(1+ \frac{1}{n} )^n\)の値を\(e\)とする。

そう決めたから

この値\(e\)をネイピア数と呼びます。

そう決めることによって、
いろいろと都合の良いことがあるからです。

$$e=\lim_{n \to \infty}(1+ \frac{1}{n} )^n\\
=\lim_{n \to 0}(1+n)^\frac{1}{n}$$

予備知識として二項定理を使う

ここでは二項定理について説明していますが、

$$(a+b)^n = a^n + n a^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \cdots $$

となることだけ頭に入れておけばOK。

第二項、第三項がどうなるかだけ分かればとりあえずOK。

実際に\(e\)を計算してみます。

二項定理に\(a=1,b=\frac{1}{n}\)を代入します。

$$(1+\frac{1}{n})^n = 1^n + n 1^{n-1}\frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!}1^{n-2}\frac{1}{n}^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}1^{n-3}\frac{1}{n}^3 +\cdots \\
=1 + 1 + \frac{1-\frac{1}{n}}{2!} +\frac{(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})}{3!} +\cdots $$

ここで\(n\to \infty\)とすると

$$\lim_{n\to \infty} (1+\frac{1}{n})^n = 1 + 1 + \frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} +\cdots $$

二項定理を使うことでかなりシンプルな式になりました。

\(e\)の値はいくつ?

この動画ではおよその値として、
3より小さいことを説明しています。

3より小さいことはわりと簡単に証明できます。

「塵も積もれば山となる」
ということわざがありますが
「数学(の世界)では
塵が積もっても山にならない
ということがよくあります」

収束することを
貫太郎さんらしい表現の仕方で話しています。

等比級数の和を使います。

$$\sum_{k =0}^{\infty} \frac{1}{2^k}=2$$

どんなに足し合わせて言っても2を超えることは
絶対にありません。

この式をつかって
先ほどの\((1+\frac{1}{n})^n\)の各項を比較していきます

$$ \begin{array}\\
\lim_{n\to \infty} ( 1+\frac{1}{n})^n & = & 1 + 1 &+& \frac{1}{2!} &+&\frac{1}{3!}&+&\frac{1}{4!} &+\cdots \\
& & & & & &\land & & \land \\
1+\sum_{k =0}^{\infty} \frac{1}{2^k} &=& 1 + 1 &+& \frac{1}{2} &+& \frac{1}{2^2} &+&\frac{1}{2^3} &+\cdots =3 \\
\end{array}$$

上下の二式の第四項以降の各項を比べると
下の式の方が各項の値が大きいことが分かります。
ということは下の式が3を超えることは絶対にないので
それより小さいことが分かる上の式も3を超えることはありません。

ということで

$$\lim_{n\to \infty} ( 1+\frac{1}{n})^n < 3$$

ということが分かります。

ちなみに\(e\)の値は円周率\(\pi\)と同様
無理数となり、小数点以下の数字が延々と続きます。
その値は

$$e = 2.71828182846 \cdots $$

指数関数のグラフと接線

指数関数\(y=a^x\)のグラフを書いた時、
\(x=0\)における接線を引きます。
そのときの接線の傾きは\(a\)の値によって異なります。

接線の傾きがちょうど1となるような\(a\)が存在するはずです。

指数関数\(y=a^x\)が\(x=0\)の微分係数を求めてみます。

\(x=0\)微分係数を求めるためには

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(h)- f(0)}{h}$$

を計算します。

指数関数の逆関数という視点からアプローチ

指数関数の逆関数は対数関数になります。

対数関数でも\(x=1\)で接線の傾きが1になるような
底\(a\)の値が存在するはずです。

ここでも微分係数を求めていきます。

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)- f(1)}{h}$$

そして\(a\)の値がそのまま
\(e\)の値と一致すると言うことがわかります。

結論

この動画ではネイピア数\(e\)とは

微分しても元の式と同じになる指数関数の底の値

として締め括られています。

ネイピア数の一面を知ることができる動画です。

これから数Ⅲを学ぶ人に贈る「ネイピア数eってなんだよ?」

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中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう VOL 6 e ネイピア数の正体

中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう VOL 6 e ネイピア数の正体

この動画は貫太郎さんの著書である
「中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう」
という本の補足動画です。


数学に関する著書なのですが、
その中で本の内容とセットで
動画でも解説を行っているということが書かれています。

なので著書のコンテンツの一部ともいえるわけです。

オイラーの公式には

$$e^{i\pi} = -1 $$

とネイピア数\(e\)が登場しますので
もちろん著書の中でも解説をしています。

もっちゃんにネイピア数\(e\)をレクチャー

自然対数の底e ネイピア数を東大留年美女&早稲田中退の社会不適合文系コンビが真面目に語る

チャンネル内のシリーズ動画「もっちゃんと数学」でも
ネイピア数が取り上げられています。

貫太郎さんと同じくYouTubeチャンネルを運営されている
もっちゃんに数学を教えていく内容です。

ですが、もっちゃんはまったく数学に興味がありません。
その方にイピア数をレクチャーする動画です。

相手が知らないことを理解してもらうことが
いかに大変かよくわかります。

舌打ちや「もう~!」と叫ぶ場面が見受けられます。
一人で数学の問題解説をしている動画とは雰囲気が全く異なります。

これだけを見ると、誤解されてしまうかもしれませんが
それだけ「教える」ということは
相手の理解度や呑み込みの早さに関係なく
とても難しくてストレスが溜まる行為だと感じてしまいます…。

数学が好きな人は
何でも一人でやりたがるタイプが多くなるような…

このシリーズではのちにオイラーの公式もレクチャーするようになります。

もっちゃんとオイラーの公式を学ぶ 数学の魔術師も出演
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ネイピア数に関する問題

ネイピア数の分数式がスッキリきれいな数字に

ネイピア数の分数式がスッキリきれいな数字に

\(e^\pi\)と\(\pi^e\) どっちがでかい?

e^πとπ^e どっちがでかい?

東工大 \(y=e^x\) に引ける接線の数

東工大 y=e^x に引ける接線の数

これは動画を見る前に自分でも解いてみました。

が、惜しかった…

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