【鈴木貫太郎】指数方程式の解8^x-3a4^x+4a=0

鈴木貫太郎
スポンサーリンク

指数方程式

問題
$$8^x -3a 4^x +4a =0$$
の異なる実数解の個数を求めよ
慶應義塾大 指数方程式の解の個数

自力で解く

$$8^x -3a 4^x +4a =0$$

\(2^xをtで\)で
置いてみればいいよね

ただし、定義域が
\(t>0\)になることに
注意してね

ということでまずは
\(t=2^x\)として代入します。

$$t^3 -3a t^2 +4a =0(t>0)$$

3次方程式の形になったので左辺を\(f(t)\)として
増減表を書くために微分します。

\(f'(t) = 3t^2 6at \\
= 3t(t-2a)\)
よって\(f'(t) = 0 \Rightarrow t = 0,2a\)

あとは\(a\)の値で
場合分けね

ということで場合分けして解きましたが
少々細かく刻みすぎてしまい
\(a\)の範囲で\(0<a<1\)を
忘れてしまいそうに
なってしまいました。

ということで実数解の個数は

\(\begin{cases}
解が2個 & (a>1)\\
解が1個 & (0<a,a=1)\\
解が0個 & (0\le a<1)
\end{cases}\)

となりました。

手順を着実に踏めば解ける問題。

この問題の注意点

  • 定義域に注意
  • \(a\)の場合分けで
    漏れがないように注意

解答

慶應義塾大 指数方程式の解の個数

貫太郎さんの解答も
ほぼ同じでした。
\(a\)の場合分けこそシンプルでしたが
やっていることはほぼ同じでした。

\(a\)の場合分けと対応する
増減表が分かれば着実に解ける問題だったと言えそうです。

この問題にも挑戦

指数方程式 \(9^x + 15^x = 25^x\)

指数方程式

指数方程式 指数公式\(4^x -1 =2^{x-1/2}\)

指数方程式 指数公式 杏林大

指数方程式の解の存在条件\(9^x-k(3^x + 3^{-x}) + 9^{-x} + \frac{k^2}{4} +k -17 =0\)

信州大2020 指数方程式の解の存在条件

YouTubeチャンネル「鈴木貫太郎」に戻る

これらの動画はYouTubeチャンネル「鈴木貫太郎」でご覧いただけます。

整数問題の問題集

指数方程式の問題集

公式ページなど

コメント

  1. […] 慶應義塾大 指数方程式の解の個数 【鈴木貫太郎】指数方程式の解(8^x-3a4^x+4a=0) 指数方程式 問題 $^x -3a 4^x +4a … […]

  2. […] 慶應義塾大 指数方程式の解の個数 【鈴木貫太郎】指数方程式の解(8^x-3a4^x+4a=0) 指数方程式 問題 $^x -3a 4^x +4a … […]

  3. […] 慶應義塾大 指数方程式の解の個数 【鈴木貫太郎】指数方程式の解(8^x-3a4^x+4a=0) 指数方程式 問題 $^x -3a 4^x +4a … […]

タイトルとURLをコピーしました