【鈴木貫太郎】指数方程式の解8^x-3a4^x+4a=0

鈴木貫太郎

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指数方程式

問題
$$8^x -3a 4^x +4a =0$$
の異なる実数解の個数を求めよ
慶應義塾大 指数方程式の解の個数

自力で解く

$$8^x -3a 4^x +4a =0$$

\(2^xをtで\)で
置いてみればいいよね

ただし、定義域が
\(t>0\)になることに
注意してね

ということでまずは
\(t=2^x\)として代入します。

$$t^3 -3a t^2 +4a =0(t>0)$$

3次方程式の形になったので左辺を\(f(t)\)として
増減表を書くために微分します。

\(f'(t) = 3t^2 6at \\
= 3t(t-2a)\)
よって\(f'(t) = 0 \Rightarrow t = 0,2a\)

あとは\(a\)の値で
場合分けね

ということで場合分けして解きましたが
少々細かく刻みすぎてしまい
\(a\)の範囲で\(0<a<1\)を
忘れてしまいそうに
なってしまいました。

ということで実数解の個数は

\(\begin{cases}
解が2個 & (a>1)\\
解が1個 & (0<a,a=1)\\
解が0個 & (0\le a<1)
\end{cases}\)

となりました。

手順を着実に踏めば解ける問題。

この問題の注意点

  • 定義域に注意
  • \(a\)の場合分けで
    漏れがないように注意

解答

慶應義塾大 指数方程式の解の個数

貫太郎さんの解答も
ほぼ同じでした。
\(a\)の場合分けこそシンプルでしたが
やっていることはほぼ同じでした。

\(a\)の場合分けと対応する
増減表が分かれば着実に解ける問題だったと言えそうです。

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コメント

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