授業だけではついていけない
自宅でどうやって勉強すればいいの？
今はYouTubeでたくさんの動画が公開されています。
数学が勉強できる動画もいっぱいあります。
この記事では、自宅で勉強したい高校生の方へ
数学授業のおすすめの動画を分野別に紹介いたします。
三角関数
中学の数学でxやyが登場して
それまでの小学校の算数とは別世界に来たことで
面食らってしまうことがありますが、
高校の数学では
$$\sin x,\cos x,\tan x$$
などという奇妙な表記が出てきます。
まるで中学の数学で面食らったときのように
高校の数学で面食らってしまう方も多いと思います。
$$\sin x,\cos x,\tan x$$
というのは難しい話ではありません。
ｘという角度に対して、斜辺と底辺の比をこれらの記号であらわしているにすぎません。
ひとかたまりで捉えていただけるとわかりやすいです。
これがあると何が便利かというと
例えば木の高さhを図りたいときに、
ある点と木との距離d、木のテッペンとある点がなす角度a
が分かってさえいれば、木の高さが
$$h = \tan a$$
で求められることです。
つまり角度と一辺がわかれば他辺の長さが計算できるからです。
これらを三角関数と呼びます。
この三角関数は辺の長さを求める以外にも
色んな便利な用途があります。
それらが公式となってまとまっているに過ぎないのです。
三角関数の公式や問題などを総まとめ記事を執筆しました。
詳しく勉強したい方はこちらをご覧ください。
この記事では手っ取り早く
調べられるように公式集と動画を中心に掲載します。
三角関数公式まとめ
こちらは暗記してしまいましょう。
$$\sin (\alpha + \beta)=\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$
$$\sin (\alpha – \beta)=\sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta$$
$$\cos (\alpha + \beta)=\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta$$
$$\cos (\alpha – \beta)=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$
積から和の公式は暗記してもOKですし、
上記の式を足して2で割る、引いて2で割るでも出てくるので、
自分で導いてもいいです。
$$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\{\sin (\alpha + \beta)+\sin (\alpha – \beta)\}$$
$$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}\{\cos (\alpha – \beta)-\cos (\alpha + \beta)\}$$
$$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\{\cos (\alpha + \beta)+\cos (\alpha – \beta)\}$$
2倍角、3倍角も覚えたほうが早い気がします。
$$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \sin \beta$$
$$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha$$
$$=2\cos^2 \alpha -1$$
$$=1-2\sin^2 \alpha$$
$$\sin 3\alpha = 3\sin \alpha – 4\sin^3 \alpha$$
$$\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha – 3\cos \alpha$$
過去の入試問題を解いてみる
4倍角の式も、加法定理もしくはド・モアブルの定理を使えば式変形できます。
あとは定義域に注意して、最大値、最小値を求められます。
一段背伸びしたい方へ
大学数学で教わる双曲線関数、逆三角関数についてもまとめ記事を投稿しています。
整数問題
整数問題はとっつきにくいところがあります。
突破口のカギは
- 素因数分解
- 合同式、余りmodの関係
- 「偶数」の素数は2だけ
- 小さい数字でとりあえず代入
を理解しておくことが重要です。
合同式の性質をつかみましょう
modの性質を理解しましょう。
$$a\equiv b(\mod p),c\equiv d(\mod p)$$のとき
$$a+c \equiv b+d(\mod p)$$
$$a-c \equiv b-d(\mod p)$$
$$ac \equiv bd(\mod p)$$
この性質と二項定理を使うことで2乗した数の余りが
特定の数に絞っていくことが分かります。
実際に見てみましょう。
3の倍数について
$$3l \equiv 0(\mod 3)$$
$$3l \pm 1 \equiv \pm 1(\mod 3)$$
なので
$$(3l)^2 \equiv 0(\mod 3)$$
$$(3l \pm 1)^2 \equiv (\pm 1)^2 (\mod 3) \equiv 1(\mod 3)$$
2乗した場合0か1にしかなりません。
4の倍数について
同様に4の倍数についても
$$(4l)^2 \equiv 0(\mod 4)$$
$$(4l \pm 1)^2 \equiv (\pm 1)^2 (\mod 4) \equiv 1(\mod 4)$$
$$(4l+2)^2 \equiv 2^2 (\mod 4) \equiv 0(\mod 4)$$
こちらも2乗すると余りが0か1に絞れます。
5の倍数について
$$(5l)^2 \equiv 0(\mod 5)$$
$$(5l \pm 1)^2 \equiv (\pm 1)^2 (\mod 5) \equiv 1(\mod 5)$$
$$(5l\pm 2)^2 \equiv (\pm 2)^2 (\mod 5) \equiv 4(\mod 5)\equiv -1(\mod 5)$$
こちらは2乗すると0,1,-1に絞れます。
整数問題瀬はこの性質を使って、
答えを絞り出すパターンがいくつかあります。
過去の入試問題を解いてみる
式変形をして、値を代入しています。
d=1を代入すると、式が成立しないことからd=0
c=2を代入しても式が成立しないことからc=0 or 1
を求めることができます。
あとはそれぞれで成り立つを調べていけば問題は解けます。
とりあえず式に数値を代入することで解法がみえてくる問題です。
平方数はmod 3では余りは0 or 1に限られる。
右辺は3の倍数となっている。つまりmod 3で余りは0。
以上から左辺がmod 3 では
$$a^2 \equiv 0 or b^2 \equiv 0(mod 3)$$
の時しか成立しない。
つまりa,bは3の倍数であることがわかります。あとは
$$a=3m,b=3n$$とおいて計算すれば、cも3の倍数となります。
存在しないことを証明するのによく使われる背理法から
実際に等式に代入して矛盾を導いて証明しています。
平方数の余りの性質をそのまま使っています。
(1)は$$xyz \le 3z$$に気づけれるかがポイント。
そこからx,yの組み合わせがかぎられるのでそこから解くことができます。
(2)はかなり難しい。
相加平均相乗平均の関係から
$$x^3+y^3+z^3 – 3xyz \ge 0$$
を導き、そこから
$$x^3+y^3+z^3 – xyz \gt 0$$
を証明して存在しないことが示せます。
これは本番の試験でいきなり解くには、
普段からかなりのパターンの問題を解いていないと
着想するのが難しいと思われます。
漸化式
こちらの動画で一通り勉強したら、あとは練習問題をおすすめします。
漸化式は練習問題をたくさん解くと自然とパターンが身につきます。
武道でいう型稽古、
野球でいう素振りや投げ込みを繰り返すことで
体で覚えていくことと似ています。
過去の入試問題を解いてみる
漸化式の一般項を求められれば、(1)も(2)も解くことができる問題です。
他分野の理解も求められています。
手間がかかりますが、順番にやっていくしかありません。
偶数と奇数の場合分けが出てきます。
またSnからanという一般項を求めるので、
計算を間違えずにやるのが大変な問題です。
複素数平面
$${r(\cos \theta +i\sin \theta)}^n = r^n(\cos n\theta +i \sin n\theta)$$
ド・モアブルの定理を理解していることがすべての出発点です。
過去の入試問題を解いてみる
最初に複素数の基本を説明してくれていますので、
習い始めの時などに見ておくと理解が深まります。
一見簡単そうですが、解を3つ求めないといけません。
x=-iはすぐにわかりますが、
複素平面上であと2つの解を求める必要があります。
今回紹介したYouTubeチャンネル
鈴木貫太郎
ただひたすらに入試問題の過去問を解いていく動画を投稿しています。
シンプルな構成なので、いろんな問題を見ていくには
とても有用なチャンネルです。
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」
授業動画を多数アップしているたくみさんのチャンネルです。
高校数学の動画も取り揃えております。
カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】
まとめ動画がかなり重宝します。
エッセンスを最小限の時間で学びたい方は
一度ご覧いただくことをおすすめします。
まとめ
YouTubeは数学動画がアツいです。
驚くほどいろんな動画が投稿されていますし、
再生回数もかなり多いです。
「数学」でYouTube検索すると上位TOP5の再生回数の合計は
26万回以上(2020年4月時点)
でした。
意外と需要が高いジャンルになっています。
検索したときのページのリンクを貼っておきます。
その時によって、上位に並ぶ動画は異なりますので
あらかじめご留意ください。
今後もこのジャンルでは良質で精度の高い動画が投稿され続けることと思います。
YouTubeだけでも十分に幅広い勉強ができそうです。
おすすめの関連記事を紹介します。
こちらの記事は数学の雑学ネタを集めました。
授業動画のおすすめ記事、物理と世界史を投稿しています。
コメント
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