線形代数学入門 完全講義

線形代数

線形代数学のまとめ記事です。
行列式、固有値、固有ベクトル
これらの理解までを目標としています。

当方の学習した内容を
理解し伝えることを目的としていますが
説明に脆弱な点や
表記に誤記がある場合がございますので
あらかじめご了承ください。
随時、修正していきます。

どうしても気になる場合は
フォームから
「優しく」ご指摘いただければ
助かります。

参考・引用文献

下記の資料を中心に執筆しています。
各所で引用元を記すべきですが
煩雑になるのを防ぐため
こちらでまとめて明示いたします。

書籍

  • 改訂版 大学1・2年生のためのすぐわかる数学
  • これだけ! 線形代数
  • まずはこの一冊から 意味がわかる線形代数
  • 線型代数―Linear Algebra(長谷川 浩司/著)
  • 線型代数入門( 斎藤 正彦/著)

詳しくはこちらの記事で紹介しています。

動画

  • 予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」
  • Masaki Koga [数学解説]
  • AKITOの勉強チャンネル
  • 式変形チャンネル

詳しくはこちらの記事で紹介しています。

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幾何ベクトル

高校数学で扱った長さと方向をもった
ベクトル(幾何ベクトル)で議論を進めることで
イメージをしやすくなります。
高校と大学の数学の橋渡し的なトピックとなります。

行列

行列の定義と演算

高校数学では2行2列、
多くても3行3列の行列までの
取り扱いに限定されてきました。
しかし、大学では4次元、5次元どころか
n次元、n行m列の行列という
一般化した次元と取り扱っていきます。

まずは行列の定義とその演算から
見ていきましょう。

行列の基本変形

行列を深める上で
この基本変形はぜひマスターしましょう。

これをマスターすることで
行列式の計算や逆行列を求められるようになります。

連立\(n\)元1次方程式

行列と基本変形によって
連立方程式を解くことが容易になります。
中学数学で教わった
加減法はまさに基本変形を使って
解を求める方法です。

行列式

線形代数で必要となる演算に
行列式があります。
この行列式を理解するうえで
必要な「置換」「互換」について
まずは説明をします。

「置換」や「互換」の説明を省くため、
3次以下の行列式に限定したり、
また4次以上でも余因子展開で3次の行列式にしてから
計算するということも可能です。

しかしそれはただの暗記になってしまいます。
理屈もストーリーもなくだたやみくもに
覚えるだけではなんの「理解」にもなりません。

中学生に
二次方程式の解の公式や
球や錐体の体積の公式を
とくかく、暗記しろ
と言われて
納得がいかない
という反応をされてしまいます。

置換や互換のところは
群論の範囲となりますが
4次以上の行列式の
一般的な定義とその理解をする上で
避けて通ることができないところです。

一つ救いがあるのは
置換や互換は難しい話ではない
ということです。
群論のような深い話まで入らないので
一度、理解できれば
行列式の一般的な定義を見ても
面食らうことは少なくなります。

線形空間

ベクトル空間を扱っていきます。
高校数学のベクトルは
2次もしくは3次の座標を設定した
幾何ベクトル(矢印)として
展開されましたが、
線形代数学では
さらに\(n\)次元への拡張や
ベクトル空間となる定義をすることで
幾何ベクトル以外の
行列や数列も
ベクトル空間として
扱うことができるようになります。

固有値、固有ベクトル

固有値と特性根

ユニタリ空間の正規変換

実計量空間の対象変換

二次形式

二次曲線、二次曲面

直交変換、三次元空間の回転

単因子、ジョルダン標準形

単因子

ジョルダン標準形

最小多項式

ベクトル、行列の微積分

ベクトル、行列関数の微積分

行列のべき級数

非負行列

さらに勉強したい方へ

下記の記事でさらに勉強できます。

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