【線形代数学講義】ベクトル空間

線形代数

ベクトル空間を扱っていきます。
高校数学のベクトルは
2次もしくは3次の座標を設定した
幾何ベクトル(矢印)として
展開されましたが、
線形代数学では
さらに\(n\)次元への拡張や
ベクトル空間となる定義をすることで
幾何ベクトル以外の
行列や数列も
ベクトル空間として
扱うことができるようになります。

当方の学習した内容を
理解し伝えることを目的としていますが
説明に脆弱な点や
表記に誤記がある場合がございますので
あらかじめご了承ください。
随時、修正していきます。

どうしても気になる場合は
フォームから
「優しく」ご指摘いただければ
助かります。

参考・引用文献

下記の資料を中心に執筆しています。
各所で引用元を記すべきですが
煩雑になるのを防ぐため
こちらでまとめて明示いたします。

書籍

  • 改訂版 大学1・2年生のためのすぐわかる数学
  • これだけ! 線形代数
  • まずはこの一冊から 意味がわかる線形代数
  • 線型代数―Linear Algebra(長谷川 浩司/著)
  • 線型代数入門( 斎藤 正彦/著)

詳しくはこちらの記事で紹介しています。

動画

  • 予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」
  • Masaki Koga [数学解説]
  • AKITOの勉強チャンネル
  • 式変形チャンネル

詳しくはこちらの記事で紹介しています。

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線形空間

代数学は集合に演算を定義します。
より抽象度が増します。

\( \mathbb{K} = \mathbb{R} or \mathbb{C}\)

ベクトル空間

ベクトル空間の定義

定義
集合\(V (\neq \phi)\)の任意の元\({\bf{a}},{\bf{b}},{\bf{c}} \in V\)
および任意の元\(k\in \mathbb{K}\)に対して
和\({\bf{a}} + {\bf{b}} \in V,
スカラー倍{k\bf{a}} \in V\)が定義されている。
下記を満たすとき集合\(Vを \mathbb{K}\)上のベクトル空間とする。

    1. \({\bf{a}} + {\bf{b}} ={\bf{b}}+ {\bf{a}}\)
    2. \(({\bf{a}} + {\bf{b}})  + {\bf{c}}={\bf{a}} + ({\bf{b}} + {\bf{c}})\)
    3. 任意の元\({\bf{a}} \in V\)について
      \({\bf{a}}+{\bf{o}} =  {\bf{o}} +{\bf{a}} = {\bf{a}}\) を満たす
      \({\bf{o}} \in V\)が存在する
    4. 任意の元\({\bf{a}} \in V\)について
      \({\bf{a}}+{\bf{b}} =  {\bf{o}}\) を満たす\({\bf{b}} \in V\)が存在する
    5. \(k({\bf{a}}+{\bf{b}}) = k{\bf{a}} + k{\bf{b}}\)
    6. \((h+k){\bf{a}} = h{\bf{a}} + k{\bf{a}}\)
    7. \((hk){\bf{a}} = h(k{\bf{a}})\)
    8. \(1{\bf{a}} = {\bf{a}}\)

 

命題
\(V\)をベクトル空間とすると
\(\forall {\bf{x}} \in V ,\forall a \in \mathbb{K}\)
について下記が成り立つ。

  • \(0{\bf{a}}= {\bf{o}} \)
  • \(a{\bf{o}}={\bf{o}} \)

零ベクトル\({\bf{o}}\)は
定義では加法+の演算についての単位元であったが
乗法\(\cdot\)については
零ベクトル\({\bf{o}}\)になることが分かる。

ベクトル空間の例

下記の例では和とスカラー倍を
定義すればベクトル空間となる。

\(n\)次列ベクトル

\(\mathbb{K}^n =\{
\begin{pmatrix}
a_1\\
\vdots \\
a_n
\end{pmatrix} | a \in \mathbb{K}\}\)

\(m\times n\)行列

\(M(m,n,\mathbb{K})\)

無限数列

\(l(k) = \{ \{x_k \}|x_k \in \mathbb{K} \}\)

写像

\(S(\neq \phi)\)を集合とする。
\(V = \{ 写像f : S \mapsto \mathbb{K} \} \)

部分空間

定義
\(\mathbb{K}\)上のベクトル空間\(V\)の
空でない部分集合\(W(\subseteq V)\)が
下記を満たすとき、
\(W\)は\(V\)の部分ベクトル空間であるという。$${\bf{a}},{\bf{b}} \in W ,k\in \mathbb{K} \\
\Rightarrow {\bf{a}}+{\bf{b}} \in W , k{\bf{a}} \in W$$

足しても、スカラー倍しても
集合\(W\)の中に閉じている。

線形結合

定義
\({\bf{a_1}},\cdots ,{\bf{a_m}} \in \mathbb{K}^n\)に対し
$$k_1{\bf{a_1}} + \cdots + k_m{\bf{a_m}} = \sum_{i=1}^m k_i{\bf{a_i}}(k_i \in \mathbb{K})$$
を\({\bf{a_1}},\cdots ,{\bf{a_m}}\)の線形結合(または一次結合)という。
命題
\({\bf{a_1}},\cdots ,{\bf{a_m}}\in \mathbb{K}^n\)に対し
$$V := \{ \sum_{i=1}^m k_ia_i | k_i \in \mathbb{K} \}$$
とするとき\(V\)は\(\mathbb{K}^n\)の線形空間である
定義
\({\bf{a_1}},\cdots ,{\bf{a_m}} \in \mathbb{K}^n\)に対し
$$\{ \sum_{i=1}^m k_i a_i | k_i \in \mathbb{K} \} $$
を\({\bf{a_1}},\cdots ,{\bf{a_m}}\)によって生成される\(\mathbb{K}^n\)の部分空間といい、
\( < {\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_m}} >\)と書く。

一次独立、一次従属

定義
\(m\)個のベクトル\({\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_m}} \in \mathbb{K}^n \)に対して
$$k_1{\bf{a_1}}+k_2{\bf{a_2}}+ \cdots +k_m{\bf{a_n}}(k_i \in \mathbb{K})=0\\
\Rightarrow k_1=k_2=\cdots =k_m=0$$
となるとき、\( {\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_m}}\)は一次独立(線形独立)と定義する。また$$k_1{\bf{a_1}}+k_2{\bf{a_2}}+ \cdots +k_n{\bf{a_m}}(k_i \in \mathbb{K})=0\\
\Rightarrow k_1=k_2=\cdots =k_m=0以外の値が存在する$$
というときは
\( {\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_m}}\)は一次従属(線形従属)と定義する。
命題
ベクトル\({\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_{m+1}}} \in \mathbb{K}^n \)が一次独立
$$\Leftrightarrow
\begin{cases}
{\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_m}}は一次独立\\
{\bf{a_{m+1}}} \notin < {\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_m}} >
\end{cases}$$

基底

定義
\(\mathbb{K}^n\)の部分空間\(V\)について\(\{ {\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_m}} \} \)が下記を満たすとき\(V\)の基底(または基)という。

    1. \(\forall {\bf{x}} \in V\) の線形結合が\({\bf{x}}=k_1{\bf{a_1}}+k_2{\bf{a_2}}+ \cdots +k_r{\bf{a_m}}\)と一意に表すことができる
命題
ベクトル\({\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_m}}\in V \subset \mathbb{K}^n \)が\(V\)の基底
$$\Leftrightarrow \begin{cases}
V= < {\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_m}} >\\
{\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_m}}は1次独立
\end{cases}$$

次元

命題
ベクトル\({\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_m}}\)と\({\bf{b_1}},{\bf{b_2}}, \cdots ,{\bf{b_l}}\)が
\(V (\subset \mathbb{K}^n) \)の基底ならば\(m = l\)となる。
定義
\({\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_m}}\)がベクトル空間\(V (\subset \mathbb{K}^n) \)の基底のとき
\(m\)を\(V\)の次元と言い、\(m={\rm{dim}} V\)と書く。

\(\mathbb{R}^n\)の基底

命題
\({\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_n}} \in \mathbb{R}^n \)が一次独立
\(\Leftrightarrow {\rm det}({\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_n}}) \neq 0\)
命題
\({\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_n}} \in \mathbb{R}^n \)が一次独立のとき
\({\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_n}}\)は\(\mathbb{R}^n \)の基底

部分空間の基底

命題
\(V \subset \mathbb{R}^n\)が部分空間であり
\({\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_r}} \in V\)が一次独立のとき
\(V\)の基底\({\bf{a_1}},{\bf{a_2}}, \cdots ,{\bf{a_r}},{\bf{a_{r+1}}}, \cdots ,{\bf{a_m}}(r \le m \le n )\)が存在する。
命題
\(V_1,V_2 \subset \mathbb{R}^n\)が部分空間であるとき

  1. \(V_1 \subset V_2 \Rightarrow {\rm dim}V_1 \le {\rm dim}V_2 \)
  2. \(V_1 \subset V_2 ,{\rm dim}V_1 = {\rm dim}V_2 \Rightarrow V_1 =V_2 \)

共通部分・和空間

定義
\(V_1,V_2 \subset \mathbb{R}^n\)の部分空間とする。
このとき

  1. \(V_1 \cap V_2 := \{ {\bf{a}}|{\bf{a}} \in V_1 かつ{\bf{a}} \in V_2\} \)
    を\(V_1とV_2\)の共通部分という。
  2. \(V_1 + V_2 := \{ {\bf{a_1}}+{\bf{a_2}}|{\bf{a_1}} \in V_1 , {\bf{a_2}} \in V_2\} \)
    を\(V_1とV_2\)の和空間という。
命題
\(V_1,V_2 \subset \mathbb{R}^n \)が部分空間であるとき
\(V_1 \cap V_2, V_1+ V_2\)は \(\mathbb{R}^n\)の部分空間である。

和空間の次元

命題
\(V_1,V_2 \subset \mathbb{R}^n \)が部分空間であるとき
\({\rm dim}(V_1 + V_2) ={\rm dim}V_1 + {\rm dim}V_2 -{\rm dim}(V_1 \cap V_2)\)となる。
命題
\(V_1,V_2 \subset \mathbb{R}^n \)が部分空間であるとき
\({\rm dim}(V_1 + V_2) ={\rm dim}V_1 + {\rm dim}V_2 \)
\(\Leftrightarrow V_1 \cap V_2 = \{ {\bf o} \} \)

直和

定義
\(V,V_1,V_2 ,\cdots , V_m \subset \mathbb{R}^n\)の部分空間とする。
このとき\(\forall {\bf x} \in V\)について
$$ {\bf x} = {\bf x_1}+ {\bf x_2} + \cdots + {\bf x_m} ( {\bf x_i} \in V_i)$$
と一意に表されるとき、
\(V\)は\(V_1,V_2 ,\cdots , V_m\)の直和であるといい、
$$V=V_1 \dot{+} V_2 \dot{+}\cdots \dot{+} V_m$$
と表す。
命題
$$V = V_1 \dot{+} V_2 \Leftrightarrow \begin{cases}
V = V_1 + V_2 \\
V_1 \cap V_2 = \{ {\bf o} \}
\end{cases} $$

線形写像

定義
\(V\in \mathbb{K}^n ,W \in \mathbb{K}^m \)を\(\mathbb{K}\)上のベクトル空間とする。写像\(f :V\mapsto W \)が
$$f({\bf{x_1}} + {\bf{x_2}}) =f({\bf{x_1}} ) + f({\bf{x_2}} ) ({\bf{x_1}},{\bf{x_2}} \in \mathbb{K}^n )$$
$$f(k{\bf{x_1}}) =kf({\bf{x_1}}) ({\bf{x_1}} \in \mathbb{K}^n ,k \in \mathbb{K} )$$
を満たすとき、
\(f\)を\(V\)から\(W\)への線形写像という。
命題
線形写像\(f: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m\)に対し
\(m\times n\)行列\(A\)で\(f({\bf{x}}) = A{\bf{x}}\)となるものが存在する。

核と像

定義
\(m\times n\)行列\(A\)、
写像\(f_A :\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\\
{\bf x}\mapsto A{\bf x} \)のとき
$${\rm Ker} f_A := \{{\bf x} \in \mathbb{R}^n | f_A({\bf x}) = 0 \}\\
= \{{\bf x} \in \mathbb{R}^n | A{\bf x} = 0 \} $$
を\(f_A\)の核という。
$${\rm Im} f_A := \{f_A({\bf x}) \in \mathbb{R}^m | {\bf x} \in \mathbb{R} \}\\
= \{A{\bf x} \in \mathbb{R}^m | {\bf x} \in \mathbb{R} \}$$
を\(f_A\)の像という。
命題
\({\rm Ker} f_A \subset \mathbb{R}^n,{\rm Im} f_A \subset \mathbb{R}^m\)は、
部分空間である。
命題
写像\( f :\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \)のとき
$${\rm dim}{\rm Ker} f +  {\rm dim}{\rm Im} f = n $$

 

ベクトルの内積

内積の性質

  • \({\bf{a}}\cdot {\bf{a}} = |{\bf{a}}|^2 \ge 0\)
  • \({\bf{a}}\cdot {\bf{b}} = {\bf{b}}\cdot {\bf{a}}\)
  • \(({\bf{a}}+ {\bf{b}})\cdot  {\bf{c}} = {\bf{a}}\cdot {\bf{c}}+{\bf{b}}\cdot {\bf{c}}\)
  • \((\lambda {\bf{a}})\cdot {\bf{b}} = {\bf{a}}\cdot (\lambda {\bf{b}})= \lambda ({\bf{a}}\cdot {\bf{b}}) \)
  • \((h {\bf{a}})\cdot (k{\bf{b}}) = hk{\bf{a}}\cdot {\bf{b}} \)

 

ベクトルの外積

 

外積の性質

  • \({\bf{a}}\times {\bf{b}} = -{\bf{b}}\times {\bf{a}}\)
  • \({\bf{a}} \times ({\bf{b}}+ {\bf{c}})= {\bf{a}}\times {\bf{b}}+{\bf{a}}\times {\bf{c}}\)
  • \((k {\bf{a}})\times {\bf{b}} = k ({\bf{a}}\times {\bf{b}}) \)
  • \(({\bf{a}})\cdot ({\bf{b}}\times {\bf{c}}) =  {\rm det}({\bf{a}},{\bf{b}},{\bf{c}}) \)

 

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