【入試過去問】微分積分問題集(随時追記)

数学

 

問題
$$f(x)=x^4-4x^2-4x+3$$
と2点で接する直線の方程式をg(x)とする。
f(x)とg(x)で囲まれた面積を求めよ
スポンサーリンク

私はこう考えた

まずはf(x)を微分してみました。

$$f'(x)=4x^3-8x-4\\
=4(x-1)(x-\frac{1\pm\sqrt{5}}{2})$$

増減表を書いてみましたが、

あれ、意味ないや。

ということに気づき、方針転換。

$$g(x)=ax+b$$

としてf(x)-g(x)を計算。それをh(x)とする

$$h(x) = f(x) -g(x) = x^4 -4x^2 -(4+a)x+3-b(①)$$

h(x)は重解を2つもつので、
$$h(x) = (x – \alpha)^2(x -\beta)^2(\alpha \lt \beta)$$
と表せる。よって

$$h(x) = x^4 -2(\alpha +\beta)x^3 + (\beta^2 + 4\alpha\beta + \alpha^2)x^2 – 2\alpha\beta(\alpha+\beta)x+\alpha^2\beta^2(②)$$

①と②の係数比較より、

$$\begin{cases}
-2(\alpha +\beta) = 0 \\
\beta^2 + 4\alpha\beta + \alpha^2 = -4 \\
– 2\alpha\beta(\alpha+\beta) = -(4+a) \\
\alpha^2\beta^2 = 3-b \\
\end{cases}$$

この式を解くと、
$$(a,b,\alpha,\beta) = (-4,-1,-\sqrt{2},\sqrt{2})$$

この時、h(x)は
$$h(x)=x^4 -4x^2 +4$$

よってf(x)とg(x)で囲まれた面積は

$$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}h(x)dx \\
= 2\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (x^4 -4x^2 +4)dx\\
=\frac{104}{15}\sqrt{2}$$

(終)

計算を手作業するのが…

解法を見つけるのはさほど苦ではなかったです。

こういう問題で約分できない分数がでると、
計算間違いを疑ってしまう。
積分の計算が思っていたより面倒だったが、
あっているだろうか。

微分を使わずに解いてしまったが、
もっと簡単な別解があったのだろうか

解答はこうだった

積分 帯広畜産大

解法は2種類、紹介していただきました。
模範解答のやり方はh(x)を式変形して商と余りの多項式で
式の比較をしていたが、とても面倒なやり方だなあと思います。
計算間違いも多くなりそうです。

もう一つは私と全く同じやり方でした。
積分については、公式を忘れていたところもありますが、
解けないわけではないので、やりやすいほうでいいのではないでしょうか。

ただ、やっぱり積分の計算が間違っていました。
記述式だったら、部分点がもらえるけど、
手計算は面倒だわ~。
そして時間も掛けたくはないです。

タイトルとURLをコピーしました