【入試過去問】p^q+q^p=素数となる素数p,qの組を全て求めよ【整数問題】

整数問題でよく取り上げられる問題です。
私も解いてみました。
どの問題も場合分けは重要ですが、
ちゃんと説明しようとすると、
文章が冗長で複雑になってくるので
気楽にやっていきましょう。

とりあえずいろいろやってみる

題意より

$$p^q+q^p=r(r\in 素数)(①)$$

とする

まず、素数の大事な特徴として

• 偶数の素数は2だけ！
• それ以外は奇数！

という事実があります。

右辺のrが素数となるのは2または奇数
となるときしか成立しないということが分かります。

$$2^2+2^2=8$$
となって素数ではないので不成立

右辺が8になっていることからもrは奇数になるパターンしかない
ということが分かります。

そうすると何となく、

そんな予感を持ちつつ、
ではp,qが両方とも奇数の場合を考えています。

$$p=2m+1,q=2n+1(m,nは0以上の整数)とおける$$

$$(①の左辺)=(2m+1)^{2n+1}+(2n+1)^{2m+1} \\
\equiv 1^{2n+1}+1^{2m+1}(mod 2) \\
\equiv 1 + 1(mod 2) \\
\equiv 0 (mod 2)$$

となりrが偶数であることがわかります。
つまりp,qが両方奇数の時、素数となるrは存在しない。
ということから、p,qはどちらかが、偶数となります。
偶数の素数は2しかありません。
ということは、
pまたはqのどちらかが2とわかります。

式①は対称性を持っていますので、
とりあえずp=2として議論をすすめます。

式①はつぎのようになります。

$$2^q+q^2=r(②)$$

とりあえず、今度は3の倍数で考えてみるか…

ということで、

$$q=3m+1$$
として考えてみた

②式は

$$(②の左辺)\equiv (-1)^{3m+1}+(3m+1)^2(mod 3)\\

\equiv -(-1)^m+1(mod 3)$$

mが偶数の時は余りが0になるので、rが3の倍数になる。
ということはr=3となるとき以外は不成立。
mが奇数の時は、余りが2となるが、
これが素数になるかどうかの判断には使えない。

ちなみに$$q=3m-1$$のときもやってみたが、
結果は同じだった。

そもそも、全て求めよ、という問題からしても
p,qの組は有限、というか数えられるぐらいの組数しか
なさそうな気がする。

こういう、整数や素数に限られた問題は
順番に代入をして、ヒントを見つけようとすることがある。

$$q=3の時、2^3+3^2=8+9=17 →素数なので成立！\\
q=5の時、2^5+5^2=32+25=57=3\times 19 →不成立\\
q=7の時、2^7+7^2=128+49=177=3\times 59 →不成立\\
q=11の時、2^{11}+11^2=2048+121=2169=3\times 723 →不成立\\$$

次の2つのことに気づきました。

q=3以外の時は、

3の倍数になっている

$$mod 3のときに2^qの余りが-1,q^2の余りが1$$

後から見ると当たり前といえば当たり前なのですが、
問題を解いていると、見逃してしまうことがります。

p,qは素数なので、

• 2以外の2の倍数(偶数)
• 3以外の3の倍数

は除外できます。

qが3の時は代入したので、
それ以外の数、つまり
qは2の倍数でもなく、3の倍数でもない数を
検証していけばいいことになります。

その場合、qは

$$q=6l+1,6l-1(lは整数)とおくことができます$$

なぜなら下記の通りだからです。
q=6l-2 ←2の倍数
q=6l-1
q=6l ←2かつ3の倍数
q=6l+1
q=6l+2 ←2の倍数
q=6l+3 ←3の倍数

ということで

$$q=6l+1のとき\\
(②の左辺)=2^{6l+1}+(6l+1)^2\\
\equiv (-1)^{6l+1}+1^2(mod 3) \\
\equiv -1+1 \equiv 0(mod 3)$$

$$q=6l-1のとき\\
(②の左辺)=2^{6l-1}+(6l-1)^2\\
\equiv (-1)^{6l-1}+1^2(mod 3) \\
\equiv -1+1 \equiv 0(mod 3)$$

つまり3より大きい素数の場合、
からなず3の倍数になることから不成立となる

では回答に入ります。

私の回答

題意より

$$p^q+q^p=r(r\in 素数)(①)$$

とする

(i)

まず、p=q=2の場合を考える。

最小の素数であるp=q=2を代入すると

r=8となり不成立。

(ii)

(仮定)p,qがともに奇数の時、①が成立と仮定する

$$p=2m+1,q=2n+1(m,nは0以上の整数)とおける$$

$$(①の左辺)=(2m+1)^{2n+1}+(2n+1)^{2m+1} \\
\equiv 1^{2n+1}+1^{2m+1}(mod 2) \\
\equiv 1 + 1(mod 2) \\
\equiv 0 (mod 2)$$

となりrは偶数となる。

また、rは最小の素数であるp=q=2を代入したときr=8であったことから
rは8より大きい素数しかとりえない。

よって、p,qが両方が奇数の時、
素数となるrは存在しないことになり(仮定)に矛盾が生じる。

よって、p,qはどちらかが、偶数となる。

また、偶数の素数は2しかないため、
pまたはqのどちらかが2となる。

(iii)

①式の対称性より、p=2として、qの値を求める。

q=3を代入する。

$$q=3の時、2^3+3^2=8+9=17$$
rが17で素数となり①が成立！

よってp=2,q=3が成立。
対称性よりp=3,q=2も成立。

(iv)

qが3以上の場合を考える。

qは素数なので2，3以上の素数は
2の倍数でもなく、かつ3の倍数でもない
という数について考えていく。

この場合、qは

$$q=6l+1,6l-1(lは整数)とおくことができる$$

ということで

$$q=6l+1のとき\\
(②の左辺)=2^{6l+1}+(6l+1)^2\\
\equiv (-1)^{6l+1}+1^2(mod 3) \\
\equiv -1+1 \equiv 0(mod 3)$$

$$q=6l-1のとき\\
(②の左辺)=2^{6l-1}+(6l-1)^2\\
\equiv (-1)^{6l-1}+1^2(mod 3) \\
\equiv -1+1 \equiv 0(mod 3)$$

つまり3より大きい素数の場合、
からなず3の倍数になる。

最小の素数であるp=q=2を代入したときr=8であったことから
rは8より大きい素数しかとりえない。

よって3の倍数で、唯一の素数である3をとることはない。

よって2、3以外の素数の場合はrは(8より大きい)3の倍数にしかならないため、
①を満たす素数p,qは存在しない。

よって(i)(ii)(iii)(iv)より、p,qの組み合わせは
$$(p,q)=(2,3),(3,2)$$
である。

(終)

回答の穴はないはず

解法はこうだった

解き方はほぼ一緒でした。
動画の中で麻雀トリビアも出てきましたが解答には
関係ありません。

動画の中で、整数問題の解き方のポイントも解説していただいています。

1. 因数分解して積の形に
2. 倍数、余りを利用する
3. 不等式評価による絞り込み

厳密な回答の説明というよりは
倍数や余り、素数の性質から
こうやって答えが見つけられるよ、
ということを提示しております。

まとめ

無限に存在されても困るので、
どうやって結論を付ければいいのか
という点で困ってしまいました。

ただ、2の倍数でも3の倍数でもない
という形を検証することに
気が付いたのがよかった。
おかげで自力で答えにたどり着くことができました。

ということが大事だと確認できました。

ほかの整数問題も見たい方はこちらです。