【鈴木貫太郎】三角関数tan1°は有理数か?

数学

 

京都大 史上最短の入試問題 tan1°は有理数か 高校数学 Japanese university entrance exam questions Kyoto University

問題
$$\tan 1^\circは有理数か?$$

 

めっちゃシンプルな問題文

tan1°なんて考えたこともない

この問題が教えてくれたこと、それは

  • 何でもいいからとりあえず手を付けてみる
  • 道筋が見えなくても、わかることを書き並べてたら、
    点と点がつながる瞬間がある
  • 小さな行動を積み重ねたことで、
    全く見当もつかなった道筋が見えた
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私はこう考えた

この手の問題は背理法かと…

まずこの問題をみてどのように手をつけようか…

一瞬戸惑いそうだが次のような見当を当ててみた

tan1°を有理数と仮定し、矛盾を導いて無理数であること証明する?

背理法と呼ばれる証明の方法で、
たいてい、「何かを示せ」と言われた場合、
それが、とてつもなく抽象的なこと、
膨大な範囲に及ぶこと、
そうだと言い切っていいのだろうかと迷うようなこと
という場合は、
背理法で、矛盾を導いて(証明終わり)というパターンが多いように感じる。
ただの偏見かもしれない。

今回もtan1°という非常に扱いにくい素材が出されている。

これをどのように料理すれば、見えてくるのか。

ここからは当てを付けたうえで試行錯誤してみる

tanの性質を振り返ってみた

まずは、いきなり1°という角度を扱うのではなく、
親しみのある30°、45°、60°という角度について振り返ってみた

$$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$\tan 45^\circ = 1$$

$$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$$

有理数となるのは45°のときだけ…

よく考えれば、キリのいい角度の時に
2辺が整数比になる方が珍しい…

何となくtan1°はやっぱり無理数のような気がする…

1°という数字では扱えないので、
何とか30°、45°、60°という数字と結び付けられないか、
考えてみる。

tanの加法定理について振り返ってみる。

$$\tan{(\alpha + \beta)}=\frac{\tan\alpha +\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

$$\tan2\theta =\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2 \theta}$$

$$30 = 2 \times 3\times 5$$
$$45 = 3^2 \times 5$$
$$60= 2^2\times 3\times 5$$

倍角の公式を使えば、なんとかいけそうかも、
という感触がよぎった。

$$\tan3\theta=\tan(2\theta +\theta)=\frac{\tan2\theta+\tan\theta}{1-\tan2 \theta\tan\theta}$$
$$\tan4\theta=\tan(2\theta \times 2)=\frac{2\tan2\theta}{1-\tan^2 2\theta}$$
$$\tan5\theta=\tan(4\theta +\theta)=\frac{\tan4\theta+\tan\theta}{1-\tan4 \theta\tan\theta}$$

これでいけるんじゃないか

どうやら材料はそろったようなので、
証明に入ります。

証明

$$ある\thetaにおいて\tan \thetaを有理数とする。$$
$$\tan \theta = \frac{n}{m}(m,nは整数,m\neq 0)と表せる。$$

このとき、

$$\tan 2\theta =\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2 \theta}より$$

$$\tan \thetaが有理数ならば\tan 2\theta は有理数となる。(①)$$

同様に

$$\tan 3\theta=\tan(2\theta +\theta)=\frac{\tan2\theta+\tan\theta}{1-\tan2 \theta\tan\theta}より$$
$$\tan \thetaが有理数ならば\tan 3\theta は有理数となる。(②)$$

同様に

$$\tan4\theta=\tan(2\theta \times 2)=\frac{2\tan2\theta}{1-\tan^2 2\theta}より$$
$$\tan \thetaが有理数ならば\tan 4\theta は有理数となる。(③)$$

$$\tan5\theta=\tan(4\theta +\theta)=\frac{\tan4\theta+\tan\theta}{1-\tan4 \theta\tan\theta}$$
$$\tan \thetaが有理数ならば\tan 5\theta は有理数となる。(④)$$

よって、①、②、③、④、および
$$\tan 30\theta = \tan 2\times 3\times 5 \times \thetaより$$

$$\tan \thetaが有理数ならば\tan 30\theta は有理数となる。(⑤)$$

ここで、tan1°を有理数と仮定する。
この時、⑤から
$$\tan 1^\circが有理数ならば\tan 30^\circ は有理数となる。$$

$$しかし、\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}であり矛盾となる。$$

よってtan1°は無理数であることが示された。

(証明終)

あってんのかな…

多分これで大丈夫だと思う。
有理数同士をいくら四則演算しても有理数なので、
証明の穴はないと思われるが。

この問題を試行錯誤したメモはこちら

解答はこうだった

京都大 史上最短の入試問題 tan1°は有理数か 高校数学 Japanese university entrance exam questions Kyoto University

ほぼ同じ解き方でしたね。
$$\tan 1^\circ=\frac{n}{m}$$
としていましたが、
そこまでせずとも証明できそうな気がします。
倍角の公式と加法定理から
tanの値の矛盾を導き出していました。

数学の証明は映画と同じ

数学の証明全体に言えることですが、
結果はどうでもいいのです。

この問題の場合、
tan1°が有理数か無理数かは
どちらでもいいのです。

関心はそのプロセス、つまり証明です。
どうやって結論を導くのか。
どういう流れでその結果になるのか。

このプロセスを重視する、というのは
何かに似ていないでしょうか?

まるで「恋愛映画」みたいだ

恋愛映画の結末はたいてい二人は結ばれます。
じゃあ、

「二人は出会って、その後、結ばれました。」

というだけで途中のプロセスが説明されない
恋愛話なんて誰が興味を持つのでしょうか?

さまざまなな困難を乗り越え、
いろんな葛藤を抱えながら、
時には遠回りをしても
最後は二人が一つの結果をつかみ取る

この結果までのプロセスこそが
恋愛映画の醍醐味です。

数学の証明は
この恋愛映画のいろんな困難を乗り越えるステップと
重ね合わせられるのです。

果たしてこの先どうなるのか。
それは実際にやってみないと分からないのです。

行動をして、挑戦をして、
はじめて道筋が見えてきます。

そんなプロセスをまるで映画を見ているように楽しんでいるのが
「証明」なのです。

今回の問題は何を感じ取ったのか?

一歩目から、いきなり立ち止まってしまいそうな、
突飛した問題でした。

でも関連する知識や道具を取り出し、
並べてみることから始めました。

すると見えてきました。

まるでスティーブジョブズが言っていた「点と点がつながる」瞬間です。

ジョブズの言葉を入試問題で知ることができました。
様々な点をつなげていき、ストーリーを組み立てていくのが
数学の証明です。

証明は映画のように楽しみながら、
点と点をつなげる発見まで知ることができるのです。

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