【鈴木貫太郎】tan1°は有理数か?【三角関数】

鈴木貫太郎

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三角関数の入試問題

問題
$$\tan 1^\circは有理数か?$$

京都大 史上最短の入試問題 tan1°は有理数か 高校数学 Japanese university entrance exam questions Kyoto University

めっちゃシンプルな問題文

\(\tan 1^{\circ}\)なんて考えたこともない

自力で解く

この手の問題は背理法かと…

まずこの問題をみてどのように手をつけようか…

一瞬戸惑いそうだが次のような見当を立ててみた。

\(\tan 1^{\circ}\)を有理数と仮定し、矛盾を導いて無理数であること証明する?

「何かを示せ」と言われた場合、

  • それが、とてつもなく抽象的なこと
  • 膨大な範囲に及ぶこと
  • そうだと言い切っていいのだろうかと迷うようなこと

このような場合は
背理法で、矛盾を導いて”証明終”
というパターンが多いように感じます。

今回も\(\tan 1^\circ\)という
非常に扱いにくい素材が出されています。

これをどのように料理すれば、見えてくるのか。

ここからは当てを付けたうえで試行錯誤してみました。

tanの性質を振り返ってみた

まずは、いきなり\(1^\circ\)という角度を扱うのではなく、
親しみのある30°、45°、60°
という角度について振り返ってみました

$$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\\
\tan 45^\circ = 1\\
\tan 60^\circ = \sqrt{3}$$

有理数となるのは45°のときだけ…

よく考えれば、キリのいい角度の時に
2辺が整数比になる方が珍しい…

何となくtan1°は
やっぱり無理数のような気がする…

\(1^\circ\)という数字では扱えないので、
何とか30°、45°、60°という
数字と結び付けられないか、

考えてみる。

tanの加法定理について振り返ってみる。

$$\tan{(\alpha + \beta)}=\frac{\tan\alpha +\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

$$\tan2\theta =\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2 \theta}$$

$$30 = 2 \times 3\times 5\\
45 = 3^2 \times 5\\
60= 2^2\times 3\times 5$$

倍角の公式を使えば、なんとかいけそうかも
という感触がよぎりました。

$$\tan3\theta=\tan(2\theta +\theta)=\frac{\tan2\theta+\tan\theta}{1-\tan2 \theta\tan\theta}$$
$$\tan4\theta=\tan(2\theta \times 2)=\frac{2\tan2\theta}{1-\tan^2 2\theta}$$
$$\tan5\theta=\tan(4\theta +\theta)=\frac{\tan4\theta+\tan\theta}{1-\tan4 \theta\tan\theta}$$

これでいけるんじゃないか

どうやら材料はそろったようなので、
証明に入ります。

証明

ある\(\theta\)において\(\tan \theta\)を有理数とする。
$$すると\tan \theta = \frac{n}{m}(m,nは整数,m\neq 0)と表すことができる。$$

このとき、

$$\tan 2\theta =\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2 \theta}より$$

$$\tan \thetaが有理数ならば\tan 2\theta は有理数となる。(①)$$

同様に

$$\tan 3\theta=\tan(2\theta +\theta)=\frac{\tan2\theta+\tan\theta}{1-\tan2 \theta\tan\theta}より$$
$$\tan \thetaが有理数ならば\tan 3\theta は有理数となる。(②)$$

同様に

$$\tan4\theta=\tan(2\theta \times 2)=\frac{2\tan2\theta}{1-\tan^2 2\theta}より$$
$$\tan \thetaが有理数ならば\tan 4\theta は有理数となる。(③)$$

$$\tan5\theta=\tan(4\theta +\theta)=\frac{\tan4\theta+\tan\theta}{1-\tan4 \theta\tan\theta}$$
$$\tan \thetaが有理数ならば\tan 5\theta は有理数となる。(④)$$

よって、①、②、③、④、および
$$\tan 30\theta = \tan 2\times 3\times 5 \times \thetaより$$

$$\tan \thetaが有理数ならば\tan 30\theta は有理数となる。(⑤)$$

ここで、tan1°を有理数と仮定する。
この時、⑤から
$$\tan 1^\circが有理数ならば\tan 30^\circ は有理数となる。$$

$$しかし、\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}であり矛盾となる。$$

よってtan1°は無理数であることが示された。

(証明終)

あってんのかな…

多分これで大丈夫だと思う。
有理数同士をいくら四則演算しても有理数なので、
証明の穴はないと思われるが。

この問題を試行錯誤したメモはこちら

解答

京都大 史上最短の入試問題 tan1°は有理数か 高校数学 Japanese university entrance exam questions Kyoto University

貫太郎さんとほぼ同じ解き方でした。
背理法で有理数と仮定して倍角の公式から
\(\tan 64^\circ ,\tan 4^\circ\)を有理数となり、
加法定理から\(tan (64-4)^\circ\)の値が
有理数となってしまうことから
矛盾を導き出していました。

この問題の感想とポイント

  • \(\tan\)の既知の値と\(\tan 1^\circ\)をどう結び付けるか?
  • \(\tan\)の倍角公式でうまく使えそうか、また見当がつけられるか?
  • 何でもいいからとりあえず手を付けてみる
  • 道筋が見えなくても、わかることを書き並べてたら、
    点と点がつながる瞬間がある
  • 小さな行動を積み重ねたことで、
    最初は全く見当もつかなった道筋を
    見つけることができた

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