【高校数学】整数問題の解き方まとめ【合同式攻略】

数学

整数問題は一瞬どこから手を付けていいかわからない。
もう手も足も出ない
ということもあるかもしれませんが、
たくさん読んでいるとある程度傾向が見えてきます。

この記事では整数問題を解く方法のパターンをまとめています。

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整数問題の突破口

整数問題はとっつきにくいところがあります。

突破口のカギは

  • 素因数分解
  • 合同式、余りmodの関係
    (特に平方数)
  • 「偶数」の素数は2だけ
  • 整数の掛け算(因数)になるパターン数で絞る
  • 小さい数字(1,2,3など)でとりあえず代入
  • 相加平均・相乗平均の関係

を理解しておくことが重要です。

合同式の性質をつかみましょう

【高校数学(発展)】合同式①(modとは何か)【整数】

まずは合同式の性質を確認しておきましょう。
なぜなら整数問題は合同式を使うことが多いです。
両辺が余りが等しいことから答えを絞り出すことができることが多いです。
その性質を使って問題がとけます。

modの性質を理解しましょう。

$$a\equiv b(\mod p),c\equiv d(\mod p)$$のとき

$$a+c \equiv b+d(\mod p)$$

$$a-c \equiv b-d(\mod p)$$

$$ac \equiv bd(\mod p)$$

この性質と二項定理を使うことで2乗した数の余りが
特定の数に絞っていくことが分かります。
実際に見てみましょう。

3の倍数について

$$3l \equiv 0(\mod 3)$$

$$3l \pm 1 \equiv \pm 1(\mod 3)$$

なので

$$(3l)^2 \equiv 0(\mod 3)$$

$$(3l \pm 1)^2 \equiv (\pm 1)^2 (\mod 3) \equiv 1(\mod 3)$$

2乗した場合0か1にしかなりません。

4の倍数について

同様に4の倍数についても

$$(4l)^2 \equiv 0(\mod 4)$$

$$(4l \pm 1)^2 \equiv (\pm 1)^2 (\mod 4) \equiv 1(\mod 4)$$

$$(4l+2)^2 \equiv 2^2 (\mod 4) \equiv 0(\mod 4)$$

こちらも2乗すると余りが0か1に絞れます。

5の倍数について

$$(5l)^2 \equiv 0(\mod 5)$$

$$(5l \pm 1)^2 \equiv (\pm 1)^2 (\mod 5) \equiv 1(\mod 5)$$

$$(5l\pm 2)^2 \equiv (\pm 2)^2 (\mod 5) \equiv 4(\mod 5)\equiv -1(\mod 5)$$

こちらは2乗すると0,1,-1に絞れます。

整数問題瀬はこの性質を使って、
答えを絞り出すパターンがいくつかあります。

過去の入試問題を解いてみる

こちらのページに整数問題の問題集をまとめています。

まとめ

理論よりも問題集の数をこなして、
感覚を磨いていくと、試験でも慌てず解けると思います。
色んな過去問のパターンを解いて、
本番に臨んでいきましょう。

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