素数の不思議な雑学

素数というのは実につかみどころがない不思議な数字の集合です。

数式で表せない。
なので計算がしにくい。
パソコンが一般人にいきわたり、
プログラミングが学校教育に導入される世の中になっても、
自動計算が極めて難しい。

そのためか、いろんな不思議な性質が分かっていたり、
きっとこうじゃないか、ということも、
はっきりと証明されたいなかったり、
よくわからない奇妙な数の集合です。

そのためか素数は数学の世界の中でも、
トリビア（雑学）の宝庫です。

この記事では、その素数のトリビア（雑学）できる限りご紹介します。

素数が無限個あることをオイラー手法で証明

それって当たり前じゃないの？
と思うのですが、実際に証明するとなると…想像もつかない。

この動画はその証明を2種類ほど提示しています。

まずは素数を有限個と仮定して、矛盾を導く背理法。

これは比較的簡単。高校数学でも理解できる話です。

もう一つの証明が

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty(①)$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}(-1< r < 1)(②)$$

を使っています。

これも背理法なのですが、素数を有限個と仮定して、
式②を使って①に式変形をして①が無限大になることから
矛盾を導き証明しています。

素数が無限個あるということは
どんな大きな数に行っても、どこかで素数が存在する
ということになります。

ただし数が膨大なものに大きくなればなるほど、
合成数ばかりになるので、
かなり稀有な存在にはなってきます。

素数が無限個あることはこの後の雑学でも
重要な要因になってきます。

双子素数は無限にあるか？

差が2の隣り合う素数のことを双子素数といいます。

たとえば

3と5
5と7
11と13

という具合にいくつかあるのですが、
これが無限に大きい数で存在するのか。

いまだ、未解決問題です。

素人の私にはどんなに大きな数でも、
ポツッと存在していそうな気がするので、
無限にありそうな気がします…
が、どうなんでしょうか。
もし有限だとすれば、

じゃあ、最大の双子素数の組は何？

という話になり、
その数字（２つの素数）が特別な意味を持つ値になるわけで。

何桁の数字なのかすら、想像がつかない。

三つ子素数

この動画内で
双子素数（連続した奇数が素数である）と
三つ子素数（連続した3つの奇数が素数である）についての雑学も紹介しています。

補足情報として、さらに下記の訂正動画を投稿しています。

素数砂漠が無限に続く？と思いきや終わりは必ず来る

素数が出てこない区間を「素数砂漠」といいます。

素数砂漠の区間はいくらでも大きくなる区間が存在することが
分かっているのですが、無限大にはならず、
必ず次の素数が存在するという不思議な性質があります。

メルセンヌ素数とは

$$メルセンヌ素数：2^k-1となる素数$$

ちなみに50番目のメルセンヌ素数は2300万桁以上の数になります。
膨大過ぎてよくわからないです。

完全数：自分自身を除く正の約数の和が自分自身に一致する数

このメルセンヌ素数がわかれば、完全数もわかる
という雑学です。

素数の逆数の和は発散

素数の逆数の和の証明です。

最初に紹介した素数が無限個あるという証明に類似しています。

はじめて、この動画を見たとき一番「おおっ！」と思ったのが、
ゼータ関数のΣの式からからπの式への変形のところでした。

 

素因数分解のすべてのパターンを網羅すれば、整数全体について言える。
ということを使っています。

生物の生存戦略に素数が絡んでいるらしい

進化とか自然淘汰などの進化の過程では
よく数学的な検証が行われます。

蝉の発生周期の違いから起こる生存戦略や、
あれ、そうなの？
と思ってしまう不思議な性質があったりします。

この動画では大量発生する周期が素数年だったりすることで
なぜ、それが起こるのかを解説しています。

素数の並びには何か意味がある⁈

素数の数の規則性のようなもの
を提示している動画です。

どうやらスパイラル状に並んでいるようだ、
といっています。

素数は数式で表したりできないので、
規則性が見つけにくいのですが、
こういうこともあるようです。

素数は暗号に利用しやすい

規則性がみつけにくい数なので、
暗号とかに利用されたりします。

すべての素数の積は無限大にならない？

なかなかの長編動画。
時間があるときに観てみよう。

どう考えても無限大にいきそうな気がしますが違うらしい。
無限に大きな素数の存在があるのになぜ？

コメント欄を見ると称賛しているコメントが多々ある。

長いんで暇なときに観ようかな

素数を使った遊び

素数大富豪

一度やったことがありますが、面白いですよ。

素数ボウリング

倒したピンの本数や合計のスコアで素数であればボーナス点がもらえる
ルールのようです。
ボーナス点の点数の設定がカギになりそうですが、
それは普及してからの話。

素数ものさし

マニアックすぎる製品だ。
線の長さを不規則にしたいときに
使うのだろうか。

まとめ