ネイピア数eとは何か【まとめ】

数学
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ネイピア数とは何か?

ネイピア数の定義

定義は

$$ e=\lim_{x\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n $$

と表されます。

1よりちょっとだけ大きな数を無限個掛け合わせる
すると不思議とある値に収束する。
それがネイピア数です。
記号はeであらわされます。

このeの値は無理数なので、
円周率と同じように延々と数字が連なることが
分かっています。

ちなみに近似値は

$$e= 2.718281828459045\cdots$$

となります。

ネイピア数の性質

グラフ

\(y= e^x \)のグラフを描きました。
参考として\(x=0 での接線\)と逆関数の\(y = \log x \)グラフも
載せています。

特に\( \log x \)との関連は大きいです。

微分

$$(e^x)’ = e^x$$

これは大きな特徴です。
微分しても同じ関数になるので
様々な微積分の計算で重宝します。

\((e^x)’_{x=0} = 1\)なので
\(x=0 \)のときの接線の傾きは1になります。

また対数の微分もここから求めることができます。

\( (\log_e x)’ =\Large{\frac{1}{x}}  \)

極限

よく出てくるネイピア数の極限です。

$$\lim_{x\to \infty}\frac{e^x -1}{x} = 1$$

微分の定義から求められます。

\(f'(0) = \lim_{x\to \infty}\frac{f(x)-f(0)}{x – 0} \\
e^0 = \lim_{x\to \infty}\frac{e^x -1}{x} \\
1= \lim_{x\to \infty}\frac{e^x -1}{x}\)

積分

$$\int e^x dx = e^x +C$$

微分しても同じ関数なので、
積分しても同じ関数になります。

テイラー展開

原点周りで下記のように多項式近似できます。

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots + \frac{x^k}{k!}+\cdots $$

微分しても同じ式になることがわかります。

ネイピア数の雑学

なぜネイピア数は”e”なのか

17世紀にベルヌーイによって
ネイピア数そのものが計算されました。

記号を割り当てたのがライプニッツで
最初は\( “b”\)を使っていました。

最初に”e”を使ったのはオイラーです。

なぜ、”e”を使ったのかは次の二つの説があります。

  • オイラーの頭文字から取った
  • exponential(指数)の頭文字から取った

どちらかと言われていますが、
この”e”が現在では世界中で定着しています。

ネイピア数の覚え方はあるの?

調べてみると下記がポピュラーです。

\(e= 2.718281828459045\cdots\)

鮒一鉢二鉢一鉢二鉢至極美味しい
鮒一鉢二鉢一鉢二鉢至極惜しい

最後は美味しい、惜しいだったりしますが、
こんな感じでいけば小数点以下15桁は覚えられます。

ネイピア数をエクセルで使うとき

エクセルでネイピア数を入れるときは関数exp(x)を使って
exp(1)を入力します。
expの1乗なのでそのままネイピア数が使えます。

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コメント

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