素数砂漠とは【証明】

数学

素数砂漠についてのまとめました。

素数砂漠はいくらでも長い区間をとれます。
しかし無限大になるわけではなく、
必ずいつか次の素数が存在します。

不思議な世界です。

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素数砂漠についてのまとめ

素数砂漠とは

ある素数から次の素数までの素数でない連続な自然数の区間を「素数砂漠」という。

素数は3以上の場合は必ず奇数となるため
素数砂漠の区間の個数は必ず奇数となる。

素数砂漠の区間の数は最大値はないが無限大ではないことを証明

素数砂漠はいくらでも長い数をとることができる。
しかしどんなに長くても必ず次の素数があるので
無限大にはならない。

命題
素数砂漠の区間はいくらでも大きな数をとることができる。
証明
\(n!+2,n!+3,\cdots,n!+n\)の\(n-1\)個の
すべての数は2~nまでの数のどれかで割り切れる。
つまり、これらはすべて素数ではない。
\(n-1\)個の素数砂漠が存在することが証明された。nはいくらでも大きな数字をとれるので、
素数砂漠の区間はいくらでも大きな数をとることができる。

ということは素数砂漠の区間の数に最大値はないことがわかります。

しかし、いくらでも大きな数は取れますが「無限大」ではないです
有限の中で大きな数が取れるということです。
なぜならどんなに大きな素数砂漠でも
必ず次の素数が存在するからです。

つまり素数砂漠はどんなに大きな数でも、とりえるけど、
無限の素数砂漠が存在しない。
どんなに大きな数(有限の大きな数)と無限の違いは何か?
という言葉の理解が求められる雑学になります。

ちなみに「素数が無限に存在」するのは
下記の動画で証明されます

【2分動画】素数が無限に存在することの証明 数学A 整数

素数砂漠を英語で何というか

ちなみに英語ではなんていうのか調べたところ
おそらく”prime gap“というようです。

“prime desert”とは呼ばないようです。たぶん。
(検索してもそれらしい表記は出てこなかった)

参考動画

「素数が連続して出現しない区間はどれくらい?」の訂正動画です。
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