【三角関数】加法定理の証明

数学
【高校数学】三角関数の公式一覧【定義】
高校でどんな数学を習うのか?ワクワクしている背伸びしたい中学生、高校数学でわけわからん記号が出てきて面食らっている高校生、学校の授業だけではイマイチ納得できない高校生、三角関数を使った大学数学を知って背伸びしたい高校生、この記事を読むと三角関数に関することは網羅的に知ることができます。
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三角関数の加法定理

加法定理一覧

$$\sin (\alpha + \beta)=\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

$$\sin (\alpha – \beta)=\sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta$$

$$\cos (\alpha + \beta)=\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta$$

$$\cos (\alpha – \beta)=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

$$\tan (\alpha + \beta)=\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

$$\tan (\alpha – \beta)=\frac{\tan \alpha – \tan \beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$

加法定理の証明

cos(α-β)=cos α cos β+ sin α sin βを証明

三角形OABについて余弦定理より

\( AB^2 = OA^2 + OB^2 -2\cdot OA \cdot OB \cos (\alpha -\beta)\\
= 1 + 1 – 2 \cos (\alpha – \beta)\\
=2 -2\cos(\alpha – \beta) \cdots (1)\)

また点A,Bの座標表示から

\( AB^2 = (\cos \alpha – \cos \beta)^2 + (\sin \alpha – \sin \beta)^2\\
= \cos^2 \alpha -2\cos \alpha  \cos \beta +\cos^2 \beta +\sin^2 \alpha -2\sin \alpha \sin \beta +\sin^2 \beta \\
=(\cos^2 \alpha +\sin^2 \alpha ) +( \cos^2 \beta +\sin^2 \beta ) -2\cos \alpha \cos \beta -2\sin \alpha \sin \beta \\
=2-2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \cdots (2)\)

(1),(2)より

$$\cos ( \alpha – \beta )= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $$

cos(α+β)=cos α cos β – sin α sin βを証明

$$\cos ( \alpha – \beta )= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $$

この式のβを-βに置き換える。

\( \cos ( \alpha – (-\beta ) )= \cos \alpha \cos (-\beta ) + \sin \alpha \sin (-\beta )\\
\cos ( \alpha + \beta )= \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \)

sin(α+β)= sin α cos β + sin α cos βを証明

$$\sin \theta = \cos(\theta -90^\circ )$$より

\( \sin (\alpha + \beta ) = \cos ((\alpha + \beta ) – 90^\circ )\\
=\cos (\alpha + (\beta – 90^\circ ))\\
=\cos \alpha \cos (\beta – 90^\circ ) – \sin \alpha \sin (\beta – 90^\circ )\\
=\cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta \\
(\sin (\beta -90^\circ ) = – \cos \beta ) \)

sin(α-β)= sin α cos β – sin α cos βを証明

$$\sin (\alpha + \beta)=\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$$

この式のβを-βに置き換える。

\( \sin (\alpha +(- \beta))=\sin \alpha \cos (-\beta ) + \cos \alpha \sin (-\beta )\\
\sin (\alpha – \beta )=\sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta \)

tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tanαtanβ)を証明

$$\tan (\alpha + \beta)=\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

$$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}より$$

\( \tan (\alpha + \beta)=\frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}\\
=\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta }\\
=\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta } \times \frac{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}\\
=\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \)

tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tanαtanβ)を証明

$$\tan (\alpha + \beta)=\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

この式のβを-βに置き換える。

\( \tan (\alpha – \beta)=\frac{\tan \alpha + \tan (-\beta )}{1-\tan\alpha\tan (-\beta )}\\
=\frac{\tan \alpha – \tan \beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \)

動画で確認したい

東大卒のもっちゃんと数学Vol.7 加法定理を証明しよう(東大過去問)
加法定理を寄り道して厳密に証明![今週の定理・公式No.2]
加法定理【高校数学】三角関数#21

 

【高校数学】三角関数の公式一覧【定義】
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コメント

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  2. […] 【三角関数】加法定理の証明 三角関数の加法定理 加法定理一覧 $$sin (alph… こちらの記事で三角関数について詳しくまとめています。 […]

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