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参考・引用文献
下記の資料を中心に執筆しています。
各所で引用元を記すべきですが
煩雑になるのを防ぐため
こちらでまとめて明示いたします。
書籍
- 統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)
- 統計学入門 (新経済学ライブラリ)
詳しくはこちらの記事で紹介しています。
動画
- 予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」
- ヒキミChannel-高卒が大学数学を独学してみた-
- 10分で単位が取れる、理系科目のサクっと講義
- 塾講師オザワのていねいな授業
詳しくはこちらの記事で紹介しています。
確率変数と確率分布
確率変数
定義
何らかの現象を観測している際に
変動する量を確率変数という
何らかの現象を観測している際に
変動する量を確率変数という
確率変数は大文字で表し
実測値、データはは小文字で表記する。
確率関数
確率変数の取る値と
その値が生じる確率を返す関数を
確率関数と呼ぶ。
確率分布について
離散型
それぞれの事象について確率が起きる場合を
並べたものを確率分布という。
\( \{ x_1,x_2,\cdots ,\}\)の値をとる確率変数を離散型という。
例えば
サイコロを1回振った場合、
$$1の目が出る確率\frac{1}{6}$$
$$2の目が出る確率\frac{1}{6}$$
$$3の目が出る確率\frac{1}{6}$$
$$4の目が出る確率\frac{1}{6}$$
$$5の目が出る確率\frac{1}{6}$$
$$6の目が出る確率\frac{1}{6}$$
これは取りえる値が限られるので離散型と呼ばれます。
定義
離散的な確率変数\( X = \{ x_1,x_2,\cdots ,\}\)について
$$P(X = x_k) = f(x_k)(k=1,2,\cdots )$$
を\(X\)の確率分布という。
離散的な確率変数\( X = \{ x_1,x_2,\cdots ,\}\)について
$$P(X = x_k) = f(x_k)(k=1,2,\cdots )$$
を\(X\)の確率分布という。
命題
離散型の確率変数\(X\)について
$$f(x_k) \ge 0 (k=1,2,\cdots )かつ\sum_{k=1}^{\infty}f(x_k)=1$$
を満たす。この\(f\)を離散型の確率分布という。
離散型の確率変数\(X\)について
$$f(x_k) \ge 0 (k=1,2,\cdots )かつ\sum_{k=1}^{\infty}f(x_k)=1$$
を満たす。この\(f\)を離散型の確率分布という。
連続型
確率1 確率密度関数
ルーレットの針を変えて、
針が止まる位置を角度で表現した場合
確率分布は下記のようになる。
$$P(a\ge X \ge b) = \int_a^b f(x) dx (0 \le x \le 2\pi )$$
このとき\(X\)を連続型の確率分布といい。
関数\(f\)を確率密度関数と呼ぶ。
命題
確率密度関数は下記が成り立つ。
$$\forall xについて f(x)\ge 0 かつ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1$$
確率密度関数は下記が成り立つ。
$$\forall xについて f(x)\ge 0 かつ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1$$
確率分布の種類
離散型の確率分布には下記の分布がある。
- 二項分布
- ベルヌーイ分布
- ポアソン分布
- 超幾何分布
- 幾何分布
- 負の二項分布
- 一様分布
連続型の確率分布には下記の分布がある
- 指数分布
- 一様分布
- 正規分布
- ガンマ分布
- ベータ分布
- コーシー分布
- 対数正規分布
- ワイブル分布
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