【統計学】確率分布について

統計学
当方の学習した内容を
理解し伝えることを目的としていますが
説明に脆弱な点や
表記に誤記がある場合がございますので
あらかじめご了承ください。
随時、修正していきます。

どうしても気になる場合は
フォームから
「優しく」ご指摘いただければ
助かります。

参考・引用文献

下記の資料を中心に執筆しています。
各所で引用元を記すべきですが
煩雑になるのを防ぐため
こちらでまとめて明示いたします。

書籍

  • 統計学入門 (基礎統計学Ⅰ)
  • 統計学入門 (新経済学ライブラリ)

詳しくはこちらの記事で紹介しています。

動画

  • 予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」
  • ヒキミChannel-高卒が大学数学を独学してみた-
  • 10分で単位が取れる、理系科目のサクっと講義

詳しくはこちらの記事で紹介しています。

スポンサーリンク

確率変数と確率分布

確率変数

定義
何らかの現象を観測している際に
変動する量を確率変数という

確率変数は大文字で表し
実測値、データはは小文字で表記する。

確率関数

確率変数の取る値と
その値が生じる確率を返す関数を
確率関数と呼ぶ。

確率分布について

離散型

それぞれの事象について確率が起きる場合を
並べたものを確率分布という。

\( \{ x_1,x_2,\cdots ,\}\)の値をとる確率変数を離散型という。

例えば
サイコロを1回振った場合、

$$1の目が出る確率\frac{1}{6}$$
$$2の目が出る確率\frac{1}{6}$$
$$3の目が出る確率\frac{1}{6}$$
$$4の目が出る確率\frac{1}{6}$$
$$5の目が出る確率\frac{1}{6}$$
$$6の目が出る確率\frac{1}{6}$$

これは取りえる値が限られるので離散型と呼ばれます。

定義
離散的な確率変数\( X = \{ x_1,x_2,\cdots ,\}\)について
$$P(X = x_k) = f(x_k)(k=1,2,\cdots )$$
を\(X\)の確率分布という。
命題
離散型の確率変数\(X\)について
$$f(x_k) \ge 0 (k=1,2,\cdots )かつ\sum_{k=1}^{\infty}f(x_k)=1$$
を満たす。この\(f\)を離散型の確率分布という。

連続型

確率1 確率密度関数

ルーレットの針を変えて、
針が止まる位置を角度で表現した場合
確率分布は下記のようになる。
$$P(a\ge X \ge b) =  \int_a^b f(x) dx (0 \le x \le 2\pi )$$
このとき\(X\)を連続型の確率分布といい。
関数\(f\)を確率密度関数と呼ぶ。

命題
確率密度関数は下記が成り立つ。
$$\forall xについて f(x)\ge 0 かつ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1$$

確率分布の種類

離散型の確率分布には下記の分布がある。

  • 二項分布
  • ベルヌーイ分布
  • ポアソン分布
  • 超幾何分布
  • 幾何分布
  • 負の二項分布
  • 一様分布

連続型の確率分布には下記の分布がある

  • 指数分布
  • 一様分布
  • 正規分布
  • ガンマ分布
  • ベータ分布
  • コーシー分布
  • 対数正規分布
  • ワイブル分布

統計学講義に戻る

統計学のおすすめ本

統計学のおすすめ動画講義

推定検定入門

コメント

  1. […] 確率分布 […]

タイトルとURLをコピーしました