【解析学】逆三角関数の基本公式一覧
大学の数学ってどんなことをやるの？と背伸びしたい高校生、試験の直前にサラッと復習しておきたい大学生、学生時代を懐かしんで思いにふけりたいおじさん・おばさん、そして自分への復習用として今回は逆三角関数の基本公式のまとめをここに残しておきたいと思います。
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2020.11.17
逆三角関数の微分
$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$$
$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$$
証明
微積分／逆三角関数の微分 1回目 arcsin(x)の微分
【微積分#26】逆関数の微分
\(\arcsin x = t \to x = \sin t\\
\arccos x = t \to x = \cos t\\
\arctan x = t \to x = \tan t\)
と置きかえる。
arcsin,arccos,arctanは
そのままでは扱いづらいので
sin,cos,tanに置き換えて計算します。
arcsinの微分
\(\arcsin x = t \to x = \sin t\)とおいて
逆関数の微分公式から
\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{\cos t}\\
\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
arccosの微分
\(\arccos x = t \to x = \cos t\)とおいて
逆関数の微分公式から
\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{-\sin t}\\
\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{1-cos^2 t}}\\
\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
arctanの微分
\(\arctan x = t \to x = \tan t\)とおいて
逆関数の微分公式から
\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{\frac{1}{cos^2 t}}\\
=cos^2 t\\
\displaystyle=\frac{1}{1+x^2}\)
割と簡単に求められます。
次のような積分もできる
導関数がこのような式になるということは、例えば
$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin x +C$$
$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = -\arccos x +C$$
$$\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arcsin x +C$$
$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = -\arccos x +C$$
$$\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arcsin x +C$$
と求められます。
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コメント
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