数学

逆三角関数の微分【変数変換して微分して逆数をとる】

数学


この記事では逆三角関数を微分します。
やり方としては一旦、変数を逆三角関数から
三角関数に変換して、微分して逆数をとる。
いたってシンプルに求めることができます。

当方の学習した内容を
理解し伝えることを目的としていますが
説明に脆弱な点や
表記に誤記がある場合がございますので
あらかじめご了承ください。
随時、修正していきます。

どうしても気になる場合は
フォームから
「優しく」ご指摘いただければ
助かります。

 

スポンサーリンク

逆三角関数の微分

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$$

証明

\(\arcsin x = t \to x = \sin t\\
\arccos x = t \to x = \cos t\\
\arctan x = t \to x = \tan t\)
と置きかえる。

arcsin,arccos,arctanは
そのままでは扱いづらいので
sin,cos,tanに置き換えて計算します。
arcsinの微分

\(\arcsin x = t \to x = \sin t\)とおいて
逆関数の微分公式から

\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{\cos t}\\
\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

arccosの微分

\(\arccos x = t \to x = \cos t\)とおいて
逆関数の微分公式から

\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{-\sin t}\\
\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{1-cos^2 t}}\\
\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

arctanの微分

\(\arctan x = t \to x = \tan t\)とおいて
逆関数の微分公式から

\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{\frac{1}{cos^2 t}}\\
=cos^2 t\\
\displaystyle=\frac{1}{1+x^2}\)

割と簡単に求められます。

次のような積分もできる

導関数がこのような式になるということは、例えば

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin x +C$$
$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = -\arccos x +C$$
$$\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arcsin x +C$$

と求められます。

スポンサーリンク

逆三角関数に戻る

 

スポンサーリンク
シェアする
NBをフォローする
時給労働で穏やかに暮らす
タイトルとURLをコピーしました