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逆三角関数の微分
$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$$
証明
\(\arcsin x = t \to x = \sin t\\
\arccos x = t \to x = \cos t\\
\arctan x = t \to x = \tan t\)
と置きかえる。
そのままでは扱いづらいので
sin,cos,tanに置き換えて計算します。
arcsinの微分
\(\arcsin x = t \to x = \sin t\)とおいて
逆関数の微分公式から
\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{\cos t}\\
\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
arccosの微分
\(\arccos x = t \to x = \cos t\)とおいて
逆関数の微分公式から
\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{-\sin t}\\
\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{1-cos^2 t}}\\
\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
arctanの微分
\(\arctan x = t \to x = \tan t\)とおいて
逆関数の微分公式から
\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{\frac{1}{cos^2 t}}\\
=cos^2 t\\
\displaystyle=\frac{1}{1+x^2}\)
割と簡単に求められます。
次のような積分もできる
導関数がこのような式になるということは、例えば
$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = -\arccos x +C$$
$$\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arcsin x +C$$
と求められます。
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コメント
[…] $$frac{d}{dx}arcsin x = frac{1}{sqrt{1-x^2}}$$ $$frac{d}{dx}arccos x = -frac{1}{sqrt{1-x^2}}$$ $$frac{d}{dx}arctan x = frac{1}{1+x^2}$$ 逆三角関数の微分 逆三角関数の微分 $$frac{d}{dx}arcsin x = frac{1}{sqrt{1-x^2}}$$… […]