逆三角関数の微分

数学
当方の学習した内容を
理解し伝えることを目的としていますが
説明に脆弱な点や
表記に誤記がある場合がございますので
あらかじめご了承ください。
随時、修正していきます。

どうしても気になる場合は
フォームから
「優しく」ご指摘いただければ
助かります。

 

【解析学】逆三角関数の基本公式一覧
逆三角関数をついて授業で教わってけどよくわからない。一体何の役に立つの?調べてようと思ってもあまり資料がない。そんな方に向けてこの記事では下記のことを知ることができます 逆三角関数の定義や公...
スポンサーリンク

逆三角関数の微分

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$$

証明

微積分/逆三角関数の微分 1回目  arcsin(x)の微分
【微積分#26】逆関数の微分
微分演習{1}sin(サイン)の逆関数であるy=arcsinxの微分をできますか?【数学 三角関数 高校数学 大学数学】
逆三角関数の導関数

\(\arcsin x = t \to x = \sin t\\
\arccos x = t \to x = \cos t\\
\arctan x = t \to x = \tan t\)
と置きかえる。

arcsin,arccos,arctanは
そのままでは扱いづらいので
sin,cos,tanに置き換えて計算します。
arcsinの微分

\(\arcsin x = t \to x = \sin t\)とおいて
逆関数の微分公式から

\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{\cos t}\\
\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

arccosの微分

\(\arccos x = t \to x = \cos t\)とおいて
逆関数の微分公式から

\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{-\sin t}\\
\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{1-cos^2 t}}\\
\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

arctanの微分

\(\arctan x = t \to x = \tan t\)とおいて
逆関数の微分公式から

\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{\frac{1}{cos^2 t}}\\
=cos^2 t\\
\displaystyle=\frac{1}{1+x^2}\)

割と簡単に求められます。

次のような積分もできる

導関数がこのような式になるということは、例えば

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = \arcsin x +C$$
$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = -\arccos x +C$$
$$\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arcsin x +C$$

と求められます。

スポンサーリンク

逆三角関数に戻る

 

コメント

  1. […] $$frac{d}{dx}arcsin x = frac{1}{sqrt{1-x^2}}$$ $$frac{d}{dx}arccos x = -frac{1}{sqrt{1-x^2}}$$ $$frac{d}{dx}arctan x = frac{1}{1+x^2}$$ 逆三角関数の微分 逆三角関数の微分 $$frac{d}{dx}arcsin x = frac{1}{sqrt{1-x^2}}$$… […]

タイトルとURLをコピーしました