・#AmongUs で二回インポスター、そのうち2回負ける。
・#factorio を一瞬
・プログラミング言語「Gamin(仮名)」の開発を再開
・逆三角関数を勉強。ただし、普通の三角関数より難しく、理解できなかった。誰か、逆三角関数を説明できる方がおりましたら教えて欲しいです。
— waryu_YND (@waryu_ynd) September 16, 2021
逆三角関数という関数があります。
高校数学で必須ではないですが、
知っているといろいろと便利な関数です。
この記事では逆三角関数を微分します。
やり方としては一旦、変数を逆三角関数から
三角関数に変換して、微分して逆数をとる。
いたってシンプルに求めることができます。
ご覧いただく前のご注意点
逆三角関数の微分
$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$$
証明
\(\arcsin x = t \to x = \sin t\\
\arccos x = t \to x = \cos t\\
\arctan x = t \to x = \tan t\)
と置きかえる。
そのままでは扱いづらいので
sin,cos,tanに置き換えて計算します。
arcsinの微分
\(\arcsin x = t \to x = \sin t\)とおいて
逆関数の微分公式から
\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{\cos t}\\
\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
arccosの微分
\(\arccos x = t \to x = \cos t\)とおいて
逆関数の微分公式から
\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{-\sin t}\\
\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{1-cos^2 t}}\\
\displaystyle=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
arctanの微分
\(\arctan x = t \to x = \tan t\)とおいて
逆関数の微分公式から
\(\displaystyle\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}}\\
\displaystyle=\frac{1}{\frac{1}{cos^2 t}}\\
=cos^2 t\\
\displaystyle=\frac{1}{1+x^2}\)
割と簡単に求められます。
次のような積分もできる
導関数がこのような式になるということは、例えば
$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = -\arccos x +C$$
$$\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arcsin x +C$$
と求められます。
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