数学

逆三角関数の積分【三角関数に変換し積分し逆三角関数に戻す】

数学

逆三角関数という関数があります。
高校数学で必須ではないですが、
知っているといろいろと便利な関数です。

この記事では
逆三角関数の積分を求めます。
基本的には逆三角関数を三角関数に変換して
そこから積分をして、また変数を
元の逆三角関数に戻すだけです。

当方の学習した内容を
理解し伝えることを目的としていますが
説明に脆弱な点や
表記に誤記がある場合がございますので
あらかじめご了承ください。
随時、修正していきます。

どうしても気になる場合は
フォームから
「優しく」ご指摘いただければ
助かります。

 

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逆三角関数の積分

$$\int \arcsin x dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$$
$$\int \arccos x dx = x \arccos x – \sqrt{1-x^2} + C$$
$$\int \arctan x dx = x \arctan x – \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$$

証明

\(\arcsin x = t \to x = \sin t\\
\arccos x = t \to x = \cos t\\
\arctan x = t \to x = \tan t\)
と置きかえる。

\(\arcsin,\arccos,\arctan\)は
そのままでは扱いづらいので
\( \sin,\cos,\tan \)に置き換えて計算します。
arcsinの積分

\(\arcsin x = t \to x = \sin t\)
と置き換えて計算します。

このとき
\(dx = \cos t dt\)
となるので

\(\displaystyle\int \arcsin x dx \\
=\displaystyle\int t \cos t dt\\
=t \sin t – \int 1 \cdot \sin t dt\\
=t \sin t + \cos t  + C\\
= x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\)

arccosの積分

\(\arccos x = t \to x = \cos t\)
と置き換えて計算します。

このとき
\(dx = – \sin t dt\)
となるので

\(\displaystyle\int \arccos x dx \\
=\displaystyle-\int t \sin t dt\\
=t \cos t – \int 1 \cdot \cos t dt\\
=t \cos t – \sin t  + C\\
= x \arccos x – \sqrt{1-x^2} + C\)

arctanの積分

\(\arctan x = t \to x = \tan t\)
と置き換えて計算します。

このとき
\(\displaystyle dx =  \frac{1}{\cos^2 t} dt\)
となるので

\(\displaystyle\int \arctan x dx \\
=\displaystyle\int  \frac{t}{\cos^2 t} dt\\
=t \tan t – \int 1 \cdot \tan t dt\\
=t \tan t +\log |\cos t|   + C\\
=x \arctan x + \log \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}   + C\\
=x \arctan x – \frac{1}{2}\log (1+x^2)   + C\)

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