逆三角関数の積分

数学
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逆三角関数の積分

$$\int \arcsin x dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$$
$$\int \arccos x dx = x \arccos x – \sqrt{1-x^2} + C$$
$$\int \arctan x dx = x \arctan x – \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$$

証明

積分演習(1)arcsinxの積分をできますか?【数学 高校数学 三角関数 大学数学】
積分演習(2)arctanxの積分をできますか?【数学 三角関数 高校数学 大学数学】
逆三角関数の積分

\(\arcsin x = t \to x = \sin t\\
\arccos x = t \to x = \cos t\\
\arctan x = t \to x = \tan t\)
と置きかえる。

\(\arcsin,\arccos,\arctan\)は
そのままでは扱いづらいので
\( \sin,\cos,\tan \)に置き換えて計算します。
arcsinの積分

\(\arcsin x = t \to x = \sin t\)
と置き換えて計算します。

このとき
\(dx = \cos t dt\)
となるので

\(\displaystyle\int \arcsin x dx \\
=\displaystyle\int t \cos t dt\\
=t \sin t – \int 1 \cdot \sin t dt\\
=t \sin t + \cos t  + C\\
= x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\)

arccosの積分

\(\arccos x = t \to x = \cos t\)
と置き換えて計算します。

このとき
\(dx = – \sin t dt\)
となるので

\(\displaystyle\int \arccos x dx \\
=\displaystyle-\int t \sin t dt\\
=t \cos t – \int 1 \cdot \cos t dt\\
=t \cos t – \sin t  + C\\
= x \arccos x – \sqrt{1-x^2} + C\)

arctanの積分

\(\arctan x = t \to x = \tan t\)
と置き換えて計算します。

このとき
\(\displaystyle dx =  \frac{1}{\cos^2 t} dt\)
となるので

\(\displaystyle\int \arctan x dx \\
=\displaystyle\int  \frac{t}{\cos^2 t} dt\\
=t \tan t – \int 1 \cdot \tan t dt\\
=t \tan t +\log |\cos t|   + C\\
=x \arctan x + \log \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}   + C\\
=x \arctan x – \frac{1}{2}\log (1+x^2)   + C\)

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コメント

  1. […] $$int arcsin x dx = x arcsin x + sqrt{1-x^2} + C$$ $$int arccos x dx = x arccos x – sqrt{1-x^2} + C$$ $$int arctan x dx = x arctan x – frac{1}{2}log(1+x^2) + C$$ 逆三角関数の積分 逆三角関数の積分 $$int arcsin x dx = x arcsin x + sqrt{1-x^2} +… […]

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