逆三角関数の積分

数学
【解析学】逆三角関数の基本公式一覧
大学の数学ってどんなことをやるの?と背伸びしたい高校生、試験の直前にサラッと復習しておきたい大学生、学生時代を懐かしんで思いにふけりたいおじさん・おばさん、そして自分への復習用として今回は逆三角関数の基本公式のまとめをここに残しておきたいと思います。
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逆三角関数の積分

$$\int \arcsin x dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$$
$$\int \arccos x dx = x \arccos x – \sqrt{1-x^2} + C$$
$$\int \arctan x dx = x \arctan x – \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$$

証明

積分演習(1)arcsinxの積分をできますか?【数学 高校数学 三角関数 大学数学】
積分演習(2)arctanxの積分をできますか?【数学 三角関数 高校数学 大学数学】
逆三角関数の積分

\(\arcsin x = t \to x = \sin t\\
\arccos x = t \to x = \cos t\\
\arctan x = t \to x = \tan t\)
と置きかえる。

\(\arcsin,\arccos,\arctan\)は
そのままでは扱いづらいので
\( \sin,\cos,\tan \)に置き換えて計算します。
arcsinの積分

\(\arcsin x = t \to x = \sin t\)
と置き換えて計算します。

このとき
\(dx = \cos t dt\)
となるので

\(\displaystyle\int \arcsin x dx \\
=\displaystyle\int t \cos t dt\\
=t \sin t – \int 1 \cdot \sin t dt\\
=t \sin t + \cos t  + C\\
= x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\)

arccosの積分

\(\arccos x = t \to x = \cos t\)
と置き換えて計算します。

このとき
\(dx = – \sin t dt\)
となるので

\(\displaystyle\int \arccos x dx \\
=\displaystyle-\int t \sin t dt\\
=t \cos t – \int 1 \cdot \cos t dt\\
=t \cos t – \sin t  + C\\
= x \arccos x – \sqrt{1-x^2} + C\)

arctanの積分

\(\arctan x = t \to x = \tan t\)
と置き換えて計算します。

このとき
\(\displaystyle dx =  \frac{1}{\cos^2 t} dt\)
となるので

\(\displaystyle\int \arctan x dx \\
=\displaystyle\int  \frac{t}{\cos^2 t} dt\\
=t \tan t – \int 1 \cdot \tan t dt\\
=t \tan t +\log |\cos t|   + C\\
=x \arctan x + \log \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}   + C\\
=x \arctan x – \frac{1}{2}\log (1+x^2)   + C\)

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コメント

  1. […] $$int arcsin x dx = x arcsin x + sqrt{1-x^2} + C$$ $$int arccos x dx = x arccos x – sqrt{1-x^2} + C$$ $$int arctan x dx = x arctan x – frac{1}{2}log(1+x^2) + C$$ 逆三角関数の積分 逆三角関数の積分 $$int arcsin x dx = x arcsin x + sqrt{1-x^2} +… […]

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