逆三角関数の積分

数学

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【解析学】逆三角関数の基本公式一覧

逆三角関数をついて授業で教わってけどよくわからない。一体何の役に立つの？調べてようと思ってもあまり資料がない。そんな方に向けてこの記事では下記のことを知ることができます逆三角関数の定義や公...

逆三角関数の積分
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$$\int \arcsin x dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$$
$$\int \arccos x dx = x \arccos x – \sqrt{1-x^2} + C$$
$$\int \arctan x dx = x \arctan x – \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$$

証明

積分演習(1)arcsinxの積分をできますか？【数学　高校数学　三角関数　大学数学】

積分演習(2)arctanxの積分をできますか？【数学　三角関数　高校数学　大学数学】

逆三角関数の積分

$\arcsin x = t \to x = \sin t\\
\arccos x = t \to x = \cos t\\
\arctan x = t \to x = \tan t$
と置きかえる。

$\arcsin,\arccos,\arctan$は
そのままでは扱いづらいので
$ \sin,\cos,\tan $に置き換えて計算します。

arcsinの積分

$\arcsin x = t \to x = \sin t$
と置き換えて計算します。

このとき
$dx = \cos t dt$
となるので

$\displaystyle\int \arcsin x dx \\
=\displaystyle\int t \cos t dt\\
=t \sin t – \int 1 \cdot \sin t dt\\
=t \sin t + \cos t + C\\
= x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$

arccosの積分

$\arccos x = t \to x = \cos t$
と置き換えて計算します。

このとき
$dx = – \sin t dt$
となるので

$\displaystyle\int \arccos x dx \\
=\displaystyle-\int t \sin t dt\\
=t \cos t – \int 1 \cdot \cos t dt\\
=t \cos t – \sin t + C\\
= x \arccos x – \sqrt{1-x^2} + C$

arctanの積分

$\arctan x = t \to x = \tan t$
と置き換えて計算します。

このとき
$\displaystyle dx = \frac{1}{\cos^2 t} dt$
となるので

$\displaystyle\int \arctan x dx \\
=\displaystyle\int \frac{t}{\cos^2 t} dt\\
=t \tan t – \int 1 \cdot \tan t dt\\
=t \tan t +\log |\cos t| + C\\
=x \arctan x + \log \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} + C\\
=x \arctan x – \frac{1}{2}\log (1+x^2) + C$

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【解析学】逆三角関数の基本公式一覧

【解析学】逆三角関数の基本公式一覧【極限・グラフ】 | 在宅YouTube学校より:

2020年11月17日 9:31 PM

[…] $$int arcsin x dx = x arcsin x + sqrt{1-x^2} + C$$ $$int arccos x dx = x arccos x – sqrt{1-x^2} + C$$ $$int arctan x dx = x arctan x – frac{1}{2}log(1+x^2) + C$$ 逆三角関数の積分逆三角関数の積分 $$int arcsin x dx = x arcsin x + sqrt{1-x^2} +… […]