なぜラジアンを使うのか？弧度法（ラジアン）のメリット・デメリット【高校数学】

角度の単位といえば度数法が有名です。
小学生の時に習った
いわゆる1回転を360度として定める方法です。

しかし、高校数学では
弧度法という新しい角度の単位を使うことになります。

と言う声が聞こえてきそうですが、
しかし、度数方の場合、
微分や積分を使うときに
不便なことが起こります。

この記事では弧度法の定義、
弧度法を使うことのメリット、デメリットを紹介します。

弧度法の定義

単位はrad、ラジアンです。
radという表記は通常省略されます。

弧度法

半径 r の円で、長さ r の弧に対する中心角の大きさを単位として、 角の大きさを測る方法を弧度法といい、この単位の大きさを1弧度または1ラジアンという。
180° ＝ π ラジアン

— 数学新書bot (@math_notebook) August 4, 2022

代表的な角度の対応表

360度　→　\(2\pi\)
180度　→　\(\pi\)
90度　→　\(\pi/2 \)
60度　→　\(\pi/3 \)
45度　→　\(\pi/4 \)
30度　→　\(\pi/6 \)
0度　→　0

直感的に思い出す方法としては

1. 半円分（180度=\(\pi\)）のケーキをイメージする
2. そのケーキを2等分するなら\(\pi/2 \)（90度）
   そのケーキを3等分するなら\(\pi/3 \)（60度）
   そのケーキを4等分するなら\(\pi/4 \)（45度）

という具合に覚えました。

弧度法のメリット

わざわざ弧度法という無理数\(\pi\)を用いた表記を
使用するのは、それ以上に便利な理由があるからです。
それが下記の2つ。

円弧の長さを簡単に求められる

半径をかけるだけで、その角度に対する円弧の長さを求められます。

度数法の場合

$$2\pi r \times \frac{\theta}{360}$$

となりますが、
弧度法の場合、

$$r\theta$$

で求められます。

という方へ度数法と同じように計算をしてみます。

$$2\pi r \times \frac{\theta}{2\pi}\\
=r\theta$$

360度にあたる角度が\(2\pi\)であるため、
円周の\(2\pi r\)の部分の\(2\pi\)を打ち消してくれます。
ですので半径\(r\)をかけるだけで円周が求まります。

三角関数の微分積分が簡易な式で表現できる

弧度法を使うと次の式が成り立ちます。

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

これが成り立つととても嬉しいことが起こります！
それは三角関数の微積分が綺麗な等式として表現できるからです。

度数法で計算すると

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{\pi}{180}$$

となり、いちいち\(\frac{\pi}{180}\)を掛けたり、割ったりしなくてはならず、
微分と積分の計算が煩雑になります。

例えば、度数法の場合こうなります。
$$(\sin x)’ = \frac{180}{\pi}\cos x$$

問題を解く受験生にとっても、
採点をする先生にとっても、
面倒なチェックが増えます。
これによって計算のミスだけでなく、
採点のミスが増えるリスクもあります。

弧度法のデメリット

弧度法を用いることでうける
デメリットは次の2つ。

代表的な角度が無理数になる

1ラジアンとか3ラジアン、0.2ラジアン
というような切りのいい数字が使われることは
ほぼ0%です。
なぜなら使い道がないからです。
\(\pi\)（円周率）が付くことで、利便性が生まれます。

\(\pi\)が付くということは
無理数になり、永久に割り切れない数となります。

日常会話で使いにくい

数学Youtuberの鈴木貫太郎氏の言葉をそのままお借りします。

例：
度数法の場合「彼は考え方を180度変えた」

弧度法の場合「彼は考え方をπ変えた。」←イメージ湧かない

参考資料

数学系YouTuberの鈴木貫太郎さんが
弧度法を使う理由を解説しています。