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【大学数学】逆三角関数の基本公式まとめ

数学

この記事は次のような方に向けて執筆されています。

大学の数学ってどんなことをやるの?と背伸びしたい高校生
試験の直前にサラッと復習しておきたい大学生
学生時代を懐かしんで思いにふけりたいおじさん・おばさん

自分への復習用として
今回は逆三角関数の基本公式のまとめをここに残しておきたいと思います。

勾配の角度を知りたい

この標識は山道などでよく見かけます。

意味としては、
この先に勾配9%の下り坂がありますよ
ということをお知らせしています。

勾配10%とは何か?

簡単に説明すると

$$\tan \theta = 0.1$$

という値をとる坂道ですよと示しています。

10%と言われてもよくわからない。
この坂の傾斜はいったい何度なの?

その傾斜の角度を求められる関数が逆三角関数です。

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定義 逆三角関数とは何か?

【大学数学】逆三角関数とは何か【解析学】

この関数の定義は三角関数の逆関数となっています。

$$逆関数:y = f^{-1}(x) \langle x = f(y) \rangle$$

$$y =\arcsin x (x = \sin y) $$

$$y =\arccos x (x = \cos y)$$

$$y =\arctan x (x = \tan y)$$

三角関数の値から角度(ラジアン)を返すという関数です。

例えばsinの値が0.5になる角度はπ/6となりますので

$$\arcsin 0.5 = \frac{\pi}{6}$$

とあらわすことができます。

冒頭で述べた勾配の標識についても

$$ \theta = \arctan 0.1 = ?$$

θの値を求めれば、角度が分かります。

紛らわしい書き方

$$\arcsin x = \sin^{-1} x$$

という書き方もあります。

逆関数を

$$f^{-1}(x)$$

と書くことから、このような書き方をするのだと思いますが、
ただこれだと-1乗という意味に勘違いしやすいです。
さらに書籍の中には注釈もなく、いきなり書かれています。
私はあまり使いたくはないです。

基本公式と性質

定義域に注意!

定義域は下記のようになります。

$$\arcsin xの場合は -1  \le x \le 1$$

$$\arccos xの場合は -1  \le x \le 1$$

$$\arctan xの場合は実数全域$$

arcsin、arccosは-1~1までしか取れないので注意してください。

性質

$$\arcsin (-x) = -\arcsin x$$

$$\arccos (-x) = \pi -\arccos x$$

$$\arctan (-x) = -\arctan x$$

グラフ

y=xを軸にひっくり返せば逆関数のグラフになります。
ただし、あるxの値に多数のyの値を対応するわけには行かないので
実際には一部分だけを値域とする、ということを念頭に入れてください。

微分

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

導関数がこのような式になるということは、例えば

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x +C$$

と求められます。

微積分/逆三角関数の微分 1回目  arcsin(x)の微分

$$\arcsin x = t \to x = \sin t$$とおいて
逆関数の微分公式

$$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}}$$

$$=\frac{1}{\cos t}$$

$$=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

割と簡単に求められます。

積分

$$\int \arcsin x dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$$

$$\int \arccos x dx = x \arccos x – \sqrt{1-x^2} + C$$

$$\int \arctan x dx = x \arctan x – \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$$

積分演習(1)arcsinxの積分をできますか?【数学 高校数学 三角関数 大学数学】

$$\arcsin x = t \to x = \sin t$$

と置き換えて計算しています。
arcsinをそのまま扱うことができず
単純計算には向かない関数です。

arcsinx/xのx→0での極限値

有名で重要な極限値

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

がありますが、
sinをarcsinにした極限値を求めたらどうなるでしょうか?

【高校数学】【大学数学】双曲線関数の極限 sinhx/x 逆三角関数の極限 arcsinx/x

$$\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x} = 1$$

ということで同じ1という値になります。
ということは

$$x\ll 0 ならば \arcsin x \approx x$$

といえるということです。

ちょっとした練習問題

【大学数学】arctanx + arctan(1/x) = π/2 逆三角関数の証明問題

$$\arctan x = t \to x = \tan t$$と置いて解く。
どれも同じですね。
ざっくりとした感想ですが、
逆三角関数は三角関数で考えるという問題に行きつくことが多そうです。

さらに勉強したい方へ参考書の紹介

動画ではサラッと逆三角関数の定義や性質が述べられています。
さらに奥深いところを学ぶための参考書を紹介します。

まとめ

勾配の標識ですが、
10%の場合は何度なのか確認しました。

関数名 値(度) 値(度分秒)
atan(x) 5.7105931374996 5°42′38.14″

こちらのサイトで値を計算できます。

約6度です。

スキー場の初級者コースが10度ぐらいなので、それよりもゆるい傾斜です。

思ったほど急な傾斜でもないですね。

シューティングゲームのプログラムで、
相手の弾が自機に当たったかどうかを判定するのに
arctanを使うというようなことを聞いたことがあります。
数少ない実用例なのかなと思います。

 

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