n行ｍ列行列と演算の定義【多次元の世界をイメージする】【線形代数学】

高校数学では2行2列、
多くても3行3列の行列までの
取り扱いに限定されてきました。
しかし、大学では4次元、5次元どころか
n次元、n行m列の行列という
一般化した次元と取り扱っていきます。

まずは行列とその演算の定義を
見ていきましょう。

定義や演算が複雑に見えるかもしれませんが
やっていることは2行2列と同じことです。
その一般化に過ぎません。

虚数を導入された時、
最初は
「そんな数、あるわけない」
「なんかイメージがつかめない」
という違和感や拒絶感が
やがて受け入れられると
一気に理解が進むように

抽象的なn次元という世界のイメージを
理解も一気に進みます。

ご覧いただく前のご注意点

当方の学習した内容を
理解しまとめることを目的としています。
説明に脆弱な点や
表記に誤記がある場合がございますので
あらかじめご了承ください。
発見次第、そのうち、修正していきます。

行列の定義と演算

行列の定義と演算

行列の定義

行列…数を縦と横に長方形状に並べたもの

高校では2行2列の行列が登場しましたが、
大学ではm行n列という、もっと一般化した行列を扱います。

定義
数字を縦にm個ずつ、横にn個ずつ
両側を()でくくったものを
m行n列行列もしくは(m,n)型行列と呼ぶ。$$A \buildrel \rm def \over {:=} \begin{pmatrix}
a_{11}&\cdots &a_{1j} & \cdots &a_{1n} \\
\vdots&\ddots & & &\vdots \\
a_{i1}& \cdots&a_{ij} &\cdots&a_{im} \\
\vdots& & &\ddots & \vdots\\
a_{m1}&\cdots &a_{mj} &\cdots &a_{mn}
\end{pmatrix} \\$$

この行列を$A = (a_{ij})$と表記することもあります。

新しく登場する用語を整理します。

成分：行列に現れた一つ一つの数字
対角成分：$a_{ii}$となる成分を対角成分
正方行列：$m=n$の時をn次の正方行列と呼ぶ
対角行列：対角成分以外が0となる正方行列を対角行列
(m次)列ベクトル：m行1列の行列
(n次)行ベクトル：1行n列の行列
行列が等しい：行列AとBが全ての成分で$(a_{ij}=b_{ij})$となるとき
行列は等しいといい$A=B$と表す

実数行列ならば

$A=\begin{pmatrix}
1 & \sqrt{5} & 8 & -1 \\
1 & 7 & \frac{14}{5} & -3 \\
2 & 7 & 7 & 2
\end{pmatrix} $

これは3行4列の実数行列

複素数行列ならば

$B=\begin{pmatrix}
i & \sqrt{5}i & 8 \\
1 & 7i & \frac{14}{5} \\
\end{pmatrix} $

これは2行3列の複素数行列

m行n列の集合$\mathbb{K}$の元を成分とする。
行列全体の集合を
$M_{m,n}(\mathbb{K} )$または$M(m,n,\mathbb{K} )$と表す。
またn次の正方行列の場合は$M_{n}(\mathbb{K} )$と書く。

$A \in M_{3,4}(\mathbb{R} ) ,B \in M_{2,3}(\mathbb{C} )$となる。

なんだか急に
世界が広がったような気がする

4次元以上になると
何をどうイメージしたらいいのやら

4次以上の一般化したイメージが難しければ
最初は2次元、もしくは3次元で考えることを
おすすめします。

幾何ベクトルや図として
表しやすいからです。

そこでイメージして、
それを新しい世界を広げた空間
みたいな感覚でいると
つかみやすいです。

いきなりすべてを理解しようとすると
大変なので、
色んな側面から理解できるポイントを
かき集めて、最後に
理解できたポイントとポイントを結び付けることで
抽象的な概念も感覚に落とし込めます。

行列の演算

行列の加法(減法)、スカラー倍

$m$行$n$列になっても
加法、スカラー倍などの演算は
高校数学の行列の計算と変わりません。

加法・減法

定義
$A = (a_{ij}),B = (b_{ij})$が
いづれも(m,n)型行列の時、
加法、減法を下記のように定義する。$$A+B \buildrel \rm def \over {:=}\begin{pmatrix}
a_{11} + b_{11}&\cdots &a_{1j}+b_{1j} & \cdots &a_{1n}+b_{1n} \\
\vdots&\ddots & & &\vdots \\
a_{i1}+b_{i1}& \cdots&a_{ij}+b_{ij} &\cdots&a_{im}+b_{im} \\
\vdots& & &\ddots & \vdots\\
a_{m1}+b_{m1}&\cdots &a_{mj}+b_{mj} &\cdots &a_{mn}+b_{mn}
\end{pmatrix} \\$$$$A-B \buildrel \rm def \over {:=} \begin{pmatrix}
a_{11} – b_{11}&\cdots &a_{1j}-b_{1j} & \cdots &a_{1n}-b_{1n} \\
\vdots&\ddots & & &\vdots \\
a_{i1}-b_{i1}& \cdots&a_{ij}-b_{ij} &\cdots&a_{im}-b_{im} \\
\vdots& & &\ddots & \vdots\\
a_{m1}-b_{m1}&\cdots &a_{mj}-b_{mj} &\cdots &a_{mn}-b_{mn}
\end{pmatrix} \\$$

同じ位置にある成分を
それぞれ和もしくは差をとった値の行列となります。

また行と列が異なる行列同士の加法(減法)は
定義していない。

スカラー倍

定義
$A = (a_{ij})$をスカラー倍は
下記のように定義する。$$kA \buildrel \rm def \over {:=} \begin{pmatrix}
ka_{11}&\cdots &ka_{1j} & \cdots &ka_{1n} \\
\vdots&\ddots & & &\vdots \\
ka_{i1}& \cdots&ka_{ij} &\cdots&ka_{im} \\
\vdots& & &\ddots & \vdots\\
ka_{m1}&\cdots &ka_{mj} &\cdots &ka_{mn}
\end{pmatrix} \\$$

行列Aの全ての成分をk倍しています。

行列の乗法

定義
$A = (a_{ij})(m,l)型行列,B = (b_{ij}),(l,n)型行列$の
乗法を下記のように定義する。$$AB \buildrel \rm def \over {:=} (a_{ij})(b_{ij})
= (\sum_{k=1}^{l}a_{ik}b_{kj})$$

全成分を書くとかえって分かりにくいので
$(i,j)$成分のみを記載しました。

積が計算できる条件

$m行l列$と$l行n列$というように
Aの列数とBの行数が一致しなければ
乗法の計算ができないことに
注意してください。

感覚的な理解を深める必要があります。

積の$(i,j)$成分の求め方

Masaki Kogaさんのこの動画が一番、行と列を掛け合わせた成分を書く位置が
一番わかりやすいやり方です。

この積の計算の書き方めっちゃええやん

線形代数のEssence 01.行列の演算　2/2 https://t.co/qyys8Lweil @YouTubeより
— しの (@Shinody2) May 15, 2020

Masaki Koga [数学解説]

主に高校数学，大学数学に関する動画をあげています．「わかりやすさより正確さ」を第一にしています．ホームページ：

なんで行（横）と列（縦）を書けるの？

同じ位置の成分同士の掛け算ではダメなの？

このように定義したのはベクトルの演算で

$行ベクトルf=(a_1 a_2 \cdots a_n)
列ベクトル{\rm x }=\begin{pmatrix}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix} $

において

$f$と${\rm x }$の内積は次のように表せます。

$$f\cdot {\rm x } = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n$$

となり、これと同じ式になるように
行列の積を「定義」しました。
一致することでいろいろと
便利で応用が利くためです。

言い方を変えると
このように定義しなかったら
行列は全く使い物にならないということです。

交換法則は成り立たない

また行列の積は交換法則は成り立ちません。
$$AB \neq BA$$

交換法則が成り立つ行列も存在しますが
かなり限定的な条件になります。

群論を習うとわかりますが
実は交換法則が成り立つ
「実数の加法、乗法」は
かなりのレアなケースです。

行列の演算の法則

命題
$A,B,C$を行列、$k,h \in \mathbb{R} $のとき

$A + B = B + A$
$(A+B)+C = A+(B+C)$
$k(A+B) = kA + kB$
$(k+h)A = kA + hA$
$(kh)A = k(hA)$
$k(AB)=(kA)B=A(kB)$
$(AB)C=A(BC)$
$(A+B)C=AC+BC$
$A(B+C)=AB+AC$

零行列O、単位行列E

定義
すべての成分が0となる行列Oを零行列とする

実数でいう0のような行列です。
何を書けても零行列Oとなります。

定義
n次の正方量列$(e_{ij})$の
対角成分が1、それ以外の成分が0となる
行列を単位行列とする。$$e^{ij} = \begin{cases}
1 & (i=j) \\
0 & (i \neq j)
\end{cases}$$

任意の正方行列$A(\neq O)$をかけても
$AE = EA = A$となります。
n次の単位行列は$E,E_n,I_n$などと表記します。

命題
零行列、単位行列の演算法則
任意の行列Aと零行列O、単位行列Eについて

$AO=OA=O$
$kO=O$
$0A=O$
$AE=EA=A$

複素共役行列

定義
行列$A=(a_{ij})$について各成分を共役複素数で置き換えた行列を
$A)$の複素共役行列と言い
$\overline{A}=(\overline{a_{ij}})$とする。

命題
複素共役行列の法則

$\overline{\overline{A}}$
$\overline{A+B} = \overline{A} + \overline{B}$
$\overline{cA} = \overline{c}\overline{A}$
$\overline{AB}=\overline{A}\overline{B}$

転置行列

定義
行列$A=(a_{ij})$について$ij$成分を$ji$成分とした行列を転置行列${}^tA(A^Tという表記もある)$とする

${}^tA = (a_{ji})$とも表記できる。

対角成分を軸に行列を成分をひっくり返せば転置行列になります。

命題
転置行列の法則

${}^t({}^tA) = A$
${}^t\overline{{}^tA} = \overline{{}^tA}$
${}^t(A+B) = {}^tA +{}^tB$
${}^t(cA) = c{}^tA$
${}^t(AB) = {}^tB {}^tA$

対称行列、交代行列

対称行列：正方行列$A$が$A={}^tA$となる行列を対称行列
交代行列：正方行列$A$が$A=-{}^tA$となる行列を交代行列

逆行列、正則行列

定義
$n$次の正方行列$A$に対して、
$AX=XA=E_n$となる$n$次の正方行列$X$が存在するとき
行列$A$を正則行列といい、
($A$は正則であるという)
$X$を$A$の逆行列という。
$X=A^{-1}$と表す。

命題
逆行列の法則

$(A^{-1})^{-1} = A$
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

行列の積の定義から
逆行列は正方行列でない場合は
存在しない。

正方行列$A$が正則である、
つまり逆行列が存在するのかどうかは
$A$の各成分による。

行列の世界の逆行列は
実数の世界でいう
逆数のような存在です。

$A=\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix} $
の逆行列は

$A^{-1}=\begin{pmatrix}
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{pmatrix} $
となる。

$A=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix} $
の逆行列を求めてみます。

$A$が逆行列を持つと仮定する。

$X=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} $
のとして

$AX=E_n\\
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
a+c & b+d \\
a+c & b+d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}$

となり矛盾する。

よって$A$は逆行列をもたない。

どんな行列が逆行列を持つのか？

これが重要な議題となる。

内積

ベクトルの内積を$n$次元に拡張する。

定義
$${\bf a} =
\begin{pmatrix}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}
\end{pmatrix},
{\bf b} =
\begin{pmatrix}
b_{1} \\
\vdots \\
b_{n}
\end{pmatrix}
$$
ベクトル${\bf a},{\bf b}$の内積を下記のように定義する。
$${\bf a}\cdot {\bf b}\buildrel \rm def \over {:=} {}^t{\bf a}{\bf b}=\sum_{i=1}^n a_i\overline{b_i}$$

ベクトルのノルムも$n$次元に拡張する。

定義
ベクトル${\bf{a}}$のノルムを次のように定義する。
$$\|{\bf{a}}\| = \sqrt{{\bf{a}}\cdot {\bf{a}}} = \sqrt{|x_1|^2 + \cdots + |x_n|^2}$$

内積の法則

${\bf{a}}\cdot {\bf{b}} \le \|{\bf{a}}\|\|{\bf{b}}\|$
$\|{\bf{a}}+{\bf{b}}\| \le \|{\bf{a}}\|+\|{\bf{b}}\|$
${\bf{a}}\cdot {\bf{a}} = \|{\bf{a}}\|^2 \ge 0$
${\bf{a}}\cdot {\bf{b}} = \overline{{\bf{b}}\cdot {\bf{a}}}$
$({\bf{a}}+ {\bf{b}})\cdot {\bf{c}} = {\bf{a}}\cdot {\bf{c}}+{\bf{b}}\cdot {\bf{c}}$
$(\lambda {\bf{a}})\cdot {\bf{b}} = \lambda ({\bf{a}}\cdot {\bf{b}}) $
${\bf{a}}\cdot (\lambda {\bf{b}}) = \overline{\lambda} ({\bf{a}}\cdot {\bf{b}})$
$(h {\bf{a}})\cdot (k{\bf{b}}) = h\overline{k}{\bf{a}}\cdot {\bf{b}} $

ユニタリ行列・直交行列

命題
$A\in M(m,n)$ならば
任意の$n$次列ベクトル${\bf{x}}$と$m$次列ベクトル${\bf{x}}$について
下記が成立する。
$$A{\bf{x}}\cdot {\bf{y}} = {\bf{x}}\cdot {}^t\overline{A}{\bf{y}} $$

定義
行列$A$について${}^t\overline{A} $を
随伴行列といい$A^*$と表す

命題
随伴行列の法則

$(A^*)^* = A$
$(A+B)^*= A^*+B^*$
$(kA)^* = \overline{k}A^*$
$(AB)^* = B^* A^*$

定義
正方行列$A$が$A = A^*$となるとき
$A$をエルミート行列という。
実エルミート行列を実対称行列という。

定義
正方行列$A$が$A^* A = E$となるとき
$A$をユニタリ行列という。
実ユニタリ行列を直交行列という。

命題
$n$次正方行列$A$について次の4つは同値である。

$A$はユニタリ行列である
$\forall {\bf x}$ について
$$\|A{\bf x}\|= \|{\bf x}\|$$
$\forall {\bf x} , {\bf y}$ について
$$A{\bf x}\cdot A{\bf y}= {\bf x}\cdot {\bf y}$$
$A$の列ベクトル${\bf a_1} ,\cdots , {\bf a_n}$について
$${\bf a_i}\cdot {\bf a_j}= \delta_{ij} =
\begin{cases}
1 & (i=j)\\
0 & (i\neq j)
\end{cases}$$

命題
$n$次実正方行列$A$について次の4つは同値である。

$A$は直交行列である
$\forall {\bf x}$ について
$$\|A{\bf x}\|= \|{\bf x}\|$$
$\forall {\bf x} , {\bf y}$ について
$$A{\bf x}\cdot A{\bf y}= {\bf x}\cdot {\bf y}$$
$A$の列ベクトル${\bf a_1} ,\cdots , {\bf a_n}$について
$${\bf a_i}\cdot {\bf a_j}= \delta_{ij} =
\begin{cases}
1 & (i=j)\\
0 & (i\neq j)
\end{cases}$$

行列のブロック分割と演算

行列の各成分を一つずつ計算するのは
とても手間がかかる。
実際は全ての成分の演算は不要で
必要な場所だけを演算すればいい場合がある。

ここでは行列をブロックごとに分割して
小さなブロックの行列を成分とした行列で演算する。

$A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7 & 8\\
9 & 10 & 11 & 12\\
13 & 14 & 15 & 16
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{pmatrix}
$

各$A_{ij}$は正方行列である必要はなく
また同じ次元である必要はない
ただし縦に並んだ成分の列数と
横に並んだ成分の行数は
一致していなければならない。

ブロック分割した行列の和とスカラー倍

m行n列の行列$A$を
行を$p$個、列を$q$個に分割する。

$ A = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1q}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{p1} & A_{p2} & \cdots & A_{pq}
\end{pmatrix}
$

このとき$k\in \mathbb{R}$に対して

$ kA = \begin{pmatrix}
kA_{11} & kA_{12} & \cdots & kA_{1q}\\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\
kA_{p1} & kA_{p2} & \cdots & kA_{pq}
\end{pmatrix}
$

また行列$B$を下記とする。

$ B = \begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1q}\\
\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\
B_{p1} & B_{p2} & \cdots & B_{pq}
\end{pmatrix}
$

ただし、行列$A$と
同じ型であり、かつ同じ区分け、
かつ各$A_{ij}$と$B_{ij}$も同じ型とする。

このとき

$ A+B = \begin{pmatrix}
A_{11} +B_{11}& \cdots & A_{1q}+B_{1q}\\
\vdots & \ddots & \vdots \\
A_{p1} +B_{p1}& \cdots & A_{pq}+B_{pq}
\end{pmatrix}
$

ブロック分割した行列の積

行列$Aを(m,n)$型行列
行列$Bを(n,l)$型行列
とする。

行列$A$を
行を$p$個、列を$q$個に分割する。

$ A = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1q}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{p1} & A_{p2} & \cdots & A_{pq}
\end{pmatrix}
$

行列$B$を
行を$q$個、列を$r$個に分割する。

$ B = \begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1r}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
B_{q1} & B_{q2} & \cdots & B_{qr}
\end{pmatrix}
$

また行列$B$を下記とする。

$ B = \begin{pmatrix}
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1q}\\
\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\
B_{p1} & B_{p2} & \cdots & B_{pq}
\end{pmatrix}
$

ただし、下記の２つを満たす

行列$A$の行の区分けの数と
行列$B$の列の区分けの数が一致
行列$A$の行の区分けの仕方と
行列$B$の列の区分けの仕方が一致

このとき積$AB$の$i,j$成分は

$$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}\\
=A_{i1}B_{1j}+\cdots +A_{iq}B_{qj}$$

これは行列の積と一致する。

これをやるメリットとして
分割した行列が零行列、単位行列だった場合
計算が簡単になり、
計算量が劇的に減らすことが
できるようになります。

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404 NOT FOUND | 寺子屋

Terakoya

参考・引用文献

下記の資料を中心に執筆しています。
各所で引用元を記すべきですが
煩雑になるのを防ぐため
こちらでまとめて明示いたします。

書籍

改訂版　大学１・２年生のためのすぐわかる数学
これだけ! 線形代数
まずはこの一冊から意味がわかる線形代数
線型代数―Linear Algebra(長谷川浩司／著)
線型代数入門( 斎藤正彦／著)

詳しくはこちらの記事で紹介しています。

動画

予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」
Masaki Koga [数学解説]
AKITOの勉強チャンネル
式変形チャンネル