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【大学数学】双曲線関数の基本公式まとめ

数学

大学数学の参考書で双曲線関数のページがあったけど、
あまり理解ができなかった記憶があります。
というのも解説が詳しくなく、
分かっていて当然見泣いたスタンスで書かれていることが多い。
また、資料を調べようにも
大学の数学に関することは需要が少ないためか
なかなか調べることにも難儀した記憶があります。

この記事は次のような方に向けて執筆されています。

大学の数学ってどんなことをやるの?と背伸びしたい高校生
試験の直前にサラッと復習しておきたい大学生
学生時代を懐かしんで思いにふけりたいおじさん・おばさん

自分への復習用として
今回は双曲線関数の基本公式のまとめをここに残しておきたいと思います。

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動画で学べます

【大学数学】双曲線関数とは何か【解析学】

分かりやすいというか
学生時代にこの資料があれば
勉強時間が大幅に短縮できたのに。

基本公式や性質

定義

双曲線関数の定義から

$$\sinh x =\frac{e^x – e^x}{2}$$

$$\cosh x =\frac{e^x + e^x}{2}$$

$$\tanh x =\frac{e^x – e^x}{e^x + e^x}$$

基本公式

見ての通り三角関数の表記にhを付け足しただけです。
それには理由というか、
三角関数に似ている性質があるからです。
まずはこの公式を覚えておきましょう。

$$\cosh^2 x – \sinh^2 x =1 (\cos^2 x + \sin^2 x=1)$$

$$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} (\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} )$$

$$1 – \tanh^2 x =\frac{1}{\cosh^2 x} (1+\tan^2 x =\frac{1}{\cos^2 x} )$$

微分すると次のようになります。

$$(\sinh x)’ = \cosh x\langle(\sin x)’ = \cos x\rangle$$

$$(\cosh x)’ = \sinh x{(\cos x)’ = -\sin x}$$

$$(\tanh x)’ = \frac{1}{\cosh^2 x} {(\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}}$$

加法定理も成り立ちます。

$$\sinh(x +y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$$

虚数範囲だとどうなる

Complex Hyperbolic Trigonometry Proofs: sin(iz) = isinh(z) and sinh(iz) = isin(z)

$$e^{i\theta}= \cos \theta +i \sin \theta$$

こちらのオイラーの公式より

$$\sin \theta= \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} = \sinh i\theta$$

$$\cos \theta= \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} = \cosh i\theta$$

が成立します。
つまり、双曲線関数に虚数を代入したものが三角関数になります。

また、三角関数に虚数を代入した場合を考えます。

$$\sin i\theta= \frac{e^{-\theta}-e^{\theta}}{2i} = i\sinh \theta$$

$$\cos i\theta= \frac{e^{-\theta}+e^{\theta}}{2} = \cosh \theta$$

三角関数に虚数を代入したものが双曲線関数に実数を代入したものに対応しています。

複素数に範囲を広げる

$$z= x + iy$$
とすると

$$\sinh z= \frac{e^z-e^{-z}}{2} = \sinh x \cos y + i \cosh x \sin y$$

$$\cosh z= \frac{e^z+e^{-z}}{2} = \cosh x\cos y + i \sinh x \sin y$$

双曲線関数の定義域を複素数に広げると、
三角関数と双曲線関数の積と和の式になります。
ややこしくてさすがに覚える気はしないですが。

極限値も同じになります。

この式も成り立ちます。

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sinh x}{x}=1$$

三角関数で出てきた極限

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

これと同じ値となります。

【高校数学】【大学数学】双曲線関数の極限 sinhx/x 逆三角関数の極限 arcsinx/x

懸垂線

双曲線関数と呼ばれる関数ですが

$$y = \cosh x$$

のグラフを描くとできる曲線を懸垂線と呼びます。
電線やネックレスがたるんだ時の曲線の形はこの懸垂線となります。

双曲線関数から着想を得て、制作されたと推測される入試問題

双曲線関数という言葉は出ないですが
そこから着想された問題が出題されたことがあります。

名古屋大 双曲線 東大大学院数学科卒 杉山さん

(2)が、めんどくせ~

まとめ

双曲線関数を定義することで
三角関数との性質がかなり酷似していることが分かります。
ただし、符号が異なる部分もあるので、
そこだけは間違えないように注意しましょう。
三角関数に虚数を代入すると双曲線関数になるのも興味深いです。

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