角度の単位といえば度数法が有名です。
いわゆる1回転を360度として定める方法です。
とある元プロボクサーは
ボクシングと出会って人生が380度変わった
と発言したらしい？ですが、
それだと
「1回転して20度しか変わっていない」
という意味になってしまいます。
話が逸れました。
この記事では高校数学では欠かせない、
弧度法と呼ばれる新しい角度の単位について説明します。
弧度法の定義
半径rの円に対して円弧の長さがrになる角度
これを1(rad)とする。
単位はrad、ラジアンです。
radという表記は通常省略されます。
代表的な角度の対応表
360度 → 2π
180度 → π
90度 → π/2
60度 → π/3
45度 → π/4
30度 → π/6
0度 → 0
直感的に思い出す方法としては
- 半円分（180度=π）のケーキをイメージする
- そのケーキを2等分するならπ/2（90度）
そのケーキを3等分するならπ/3（60度）
そのケーキを4等分するならπ/4（40度）
という具合に覚えました。
弧度法のメリット
- 円弧の長さを簡単に求められる
- 三角関数の微分積分が簡易な式で表現できる
円弧の長さを簡単に求められる
半径をかけるだけで、その角度に対する円弧の長さを求められます。
度数法の場合
$$2\pi r \times \frac{\theta}{360}$$
となりますが、
弧度法の場合、
$$r\theta$$
で求められます。
なんか納得いかない！
という方へ度数法と同じように計算をしてみます。
$$2\pi r \times \frac{\theta}{2\pi}$$
$$=r\theta$$
360度にあたる角度が2πであるため、
円周の2πrの部分の2πを打ち消してくれます。
ですので半径rをかけるだけで円周が求まります。
そもそも、弧度法はそうなるように単位を定義しています。
だから便利なのです。
三角関数の微分積分が簡易な式で表現できる
弧度法を使うと次の式が成り立ちます。
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$
これが成り立つととても嬉しいことが起こります！
それは三角関数の微積分が綺麗な等式として表現できるからです。
$$(\sin x)’ = \cos x$$
$$(\cos x)’ = -\sin x$$
$$(\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$$
$$\int \sin x dx = -\cos x +C$$
$$\int \cos x dx = \sin x +C$$
$$\int \tan x dx = – \ln{|\cos x|} +C$$
度数法で計算すると
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{\pi}{180}$$
となり、いちいち$$\frac{\pi}{180}$$を掛けたり、割ったりしなくてはならず、
微分と積分の計算が煩雑になります。
例えば、度数法の場合こうなります。
$$(\sin x)’ = \frac{180}{\pi}\cos x$$
問題を解く受験生にとっても、
採点をする先生にとっても、
面倒なチェックが増えます。
これによって計算のミスだけでなく、
採点のミスが増えるリスクもあります。
（数学的な能力を測る上で本質的でない、
どうでもいいことであり、
双方にとって余計な手間がかかるだけです）
弧度法のデメリット
- 代表的な角度が無理数になる
- 日常会話で使いにくい
代表的な角度が無理数になる
1ラジアンとか3ラジアン、0.2ラジアン
というような切りのいい数字が使われることは
ほぼ0%です。
なぜなら使い道がないからです。
π（円周率）が付くことで、利便性が生まれます。
πが付くということは
無理数になり、永久に割り切れない数となります。
これを直感的にわかりにくい
と感じてしまうのも
仕方がないことかもしれません。
日常会話で使いにくい
数学Youtuberの鈴木貫太郎氏の言葉をそのままお借りします。
例：
度数法の場合「彼は考え方を180度変えた」
弧度法の場合「彼は考え方をπ変えた。」←イメージ湧かない
この人、何言っているの？
日常会話や小説では、使われないですね…
弧度法はこんな方におすすめ
微分積分をやるなら弧度法じゃないと、
いちいち$$\frac{\pi}{180}$$を掛けたり割ったりしてられないです！
コメント
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