角度の単位といえば度数法が有名です。
小学生の時に習った
いわゆる1回転を360度として定める方法です。
しかし、高校数学では
弧度法という新しい角度の単位を使うことになります。
360度のままでいいじゃん
と言う声が聞こえてきそうですが、
しかし、度数方の場合、
微分や積分を使うときに
不便なことが起こります。
この記事では弧度法の定義、
弧度法を使うことのメリット、デメリットを紹介します。
弧度法を考案した理由や
微分や積分に対する理解も深まります。
弧度法の定義
半径rの円に対して円弧の長さがrになる角度
これを1(rad)とする。
単位はrad、ラジアンです。
radという表記は通常省略されます。
代表的な角度の対応表
360度 → 2π
180度 → π
90度 → π/2
60度 → π/3
45度 → π/4
30度 → π/6
0度 → 0
直感的に思い出す方法としては
- 半円分（180度=π）のケーキをイメージする
- そのケーキを2等分するならπ/2（90度）
そのケーキを3等分するならπ/3（60度）
そのケーキを4等分するならπ/4（45度）
という具合に覚えました。
弧度法のメリット
わざわざ弧度法という無理数\(\pi\)を用いた表記を
使用するのは、それ以上に便利な理由があるからです。
それが下記の2つ。
- 円弧の長さを簡単に求められる
- 三角関数の微分積分が簡易な式で表現できる
円弧の長さを簡単に求められる
半径をかけるだけで、その角度に対する円弧の長さを求められます。
度数法の場合
$$2\pi r \times \frac{\theta}{360}$$
となりますが、
弧度法の場合、
$$r\theta$$
で求められます。
なんか納得いかない！
という方へ度数法と同じように計算をしてみます。
$$2\pi r \times \frac{\theta}{2\pi}\\
=r\theta$$
360度にあたる角度が\(2\pi\)であるため、
円周の\(2\pi r\)の部分の\(2\pi\)を打ち消してくれます。
ですので半径\(r\)をかけるだけで円周が求まります。
そもそも、弧度法はそうなるように単位を定義しています。
だから便利なのです。
三角関数の微分積分が簡易な式で表現できる
弧度法を使うと次の式が成り立ちます。
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$
これが成り立つととても嬉しいことが起こります！
それは三角関数の微積分が綺麗な等式として表現できるからです。
$$(\cos x)’ = -\sin x$$
$$(\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$$
$$\int \sin x dx = -\cos x +C$$
$$\int \cos x dx = \sin x +C$$
$$\int \tan x dx = – \ln{|\cos x|} +C$$
度数法で計算すると
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{\pi}{180}$$
となり、いちいち\(\frac{\pi}{180}\)を掛けたり、割ったりしなくてはならず、
微分と積分の計算が煩雑になります。
例えば、度数法の場合こうなります。
$$(\sin x)’ = \frac{180}{\pi}\cos x$$
問題を解く受験生にとっても、
採点をする先生にとっても、
面倒なチェックが増えます。
これによって計算のミスだけでなく、
採点のミスが増えるリスクもあります。
（数学的な能力を測る上で本質的でない、
どうでもいいことであり、
双方にとって余計な手間がかかるだけです）
弧度法のデメリット
弧度法を用いることでうける
デメリットは次の2つ。
- 代表的な角度が無理数になる
- 日常会話で使いにくい → 浸透しない
代表的な角度が無理数になる
1ラジアンとか3ラジアン、0.2ラジアン
というような切りのいい数字が使われることは
ほぼ0%です。
なぜなら使い道がないからです。
\(\pi\)（円周率）が付くことで、利便性が生まれます。
\(\pi\)が付くということは
無理数になり、永久に割り切れない数となります。
これを直感的にわかりにくい
と感じてしまうのも
仕方がないことかもしれません。
日常会話で使いにくい
数学Youtuberの鈴木貫太郎氏の言葉をそのままお借りします。
例：
度数法の場合「彼は考え方を180度変えた」
弧度法の場合「彼は考え方をπ変えた。」←イメージ湧かない
この人、何言っているの？
日常会話や小説では、使われないですね…
弧度法はこんな方におすすめ
微分積分をやるなら弧度法じゃないと、
いちいち\(\frac{\pi}{180}\)を掛けたり割ったりしてられないです！
参考資料
数学系YouTuberの鈴木貫太郎さんが
弧度法を使う理由を解説しています。
最近は弧度法についてのツイートが続いておりましたが、弧度法のメリットについては「高校数学の美しい物語」さんのhttps://t.co/BoH2rprdkWに端的にまとまってますし、これは数学教員はおさえておかないとまずいと思います。今は良記事に簡単にアクセスできていいっすよねぇ…
— MER (@MathEdr) January 16, 2018