弧度法(ラジアン)のメリット・デメリットを紹介【高校数学】

数学

角度の単位といえば度数法が有名です。
いわゆる1回転を360度として定める方法です。

とある元プロボクサーは

ボクシングと出会って人生が380度変わった

と発言したらしい?ですが、
それだと

「1回転して20度しか変わっていない」

という意味になってしまいます。

話が逸れました。

この記事では高校数学では欠かせない、
弧度法と呼ばれる新しい角度の単位について説明します。

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弧度法の定義

半径rの円に対して円弧の長さがrになる角度

これを1(rad)とする。

単位はrad、ラジアンです。
radという表記は通常省略されます。

代表的な角度の対応表

360度 → 2π
180度 → π
90度 → π/2
60度 → π/3
45度 → π/4
30度 → π/6
0度 → 0

直感的に思い出す方法としては

  1. 半円分(180度=π)のケーキをイメージする
  2. そのケーキを2等分するならπ/2(90度)
    そのケーキを3等分するならπ/3(60度)
    そのケーキを4等分するならπ/4(40度)

という具合に覚えました。

弧度法のメリット

  1. 円弧の長さを簡単に求められる
  2. 三角関数の微分積分が簡易な式で表現できる

円弧の長さを簡単に求められる

半径をかけるだけで、その角度に対する円弧の長さを求められます。

度数法の場合

$$2\pi r \times \frac{\theta}{360}$$

となりますが、
弧度法の場合、

$$r\theta$$

で求められます。

なんか納得いかない!

という方へ度数法と同じように計算をしてみます。

$$2\pi r \times \frac{\theta}{2\pi}$$
$$=r\theta$$

360度にあたる角度が2πであるため、
円周の2πrの部分の2πを打ち消してくれます。
ですので半径rをかけるだけで円周が求まります。

そもそも、弧度法はそうなるように単位を定義しています。
だから便利なのです。

三角関数の微分積分が簡易な式で表現できる

弧度法を使うと次の式が成り立ちます。

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

これが成り立つととても嬉しいことが起こります!
それは三角関数の微積分が綺麗な等式として表現できるからです。

$$(\sin x)’ = \cos x$$

$$(\cos x)’ = -\sin x$$

$$(\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$$

$$\int \sin x dx = -\cos x +C$$

$$\int \cos x dx = \sin x +C$$

$$\int \tan x dx = – \ln{|\cos x|} +C$$

度数法で計算すると

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{\pi}{180}$$

となり、いちいち$$\frac{\pi}{180}$$を掛けたり、割ったりしなくてはならず、
微分と積分の計算が煩雑になります。

例えば、度数法の場合こうなります。
$$(\sin x)’ = \frac{180}{\pi}\cos x$$

問題を解く受験生にとっても、
採点をする先生にとっても、
面倒なチェックが増えます。
これによって計算のミスだけでなく、
採点のミスが増えるリスクもあります。
(数学的な能力を測る上で本質的でない、
どうでもいいことであり、
双方にとって余計な手間がかかるだけです)

弧度法のデメリット

  1. 代表的な角度が無理数になる
  2. 日常会話で使いにくい

代表的な角度が無理数になる

1ラジアンとか3ラジアン、0.2ラジアン
というような切りのいい数字が使われることは
ほぼ0%です。
なぜなら使い道がないからです。
π(円周率)が付くことで、利便性が生まれます。

πが付くということは
無理数になり、永久に割り切れない数となります。

これを直感的にわかりにくい
と感じてしまうのも
仕方がないことかもしれません。

日常会話で使いにくい

数学Youtuberの鈴木貫太郎氏の言葉をそのままお借りします。

例:
度数法の場合「彼は考え方を180度変えた」

弧度法の場合「彼は考え方をπ変えた。」←イメージ湧かない

この人、何言っているの?

日常会話や小説では、使われないですね…

弧度法はこんな方におすすめ

三角関数の微分積分を扱う学生、研究者

微分積分をやるなら弧度法じゃないと、
いちいち$$\frac{\pi}{180}$$を掛けたり割ったりしてられないです!

参考動画

弧度法を使う理由
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