弧度法(ラジアン)のメリット・デメリット【高校数学】

数学

角度の単位といえば度数法が有名です。
いわゆる1回転を360度として定める方法です。

しかし、高校数学では
弧度法という新しい角度の単位を使うことになります。

360度のままでいいじゃん

と言う声が聞こえてきそうですが、
しかし、度数方の場合、
微分や積分を使うときに
無駄に不便なことが起こります。

この記事では弧度法の定義、
弧度法を使うことのメリット、デメリットを紹介します。

弧度法を考案した理由や
微分や積分に対する理解も深まります。

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弧度法の定義

半径rの円に対して円弧の長さがrになる角度

これを1(rad)とする。

単位はrad、ラジアンです。
radという表記は通常省略されます。

代表的な角度の対応表

360度 → 2π
180度 → π
90度 → π/2
60度 → π/3
45度 → π/4
30度 → π/6
0度 → 0

直感的に思い出す方法としては

  1. 半円分(180度=π)のケーキをイメージする
  2. そのケーキを2等分するならπ/2(90度)
    そのケーキを3等分するならπ/3(60度)
    そのケーキを4等分するならπ/4(45度)

という具合に覚えました。

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弧度法のメリット

わざわざ弧度法という無理数\(\pi\)を用いた表記を
使用するのは、それ以上に便利な理由があるからです。
それが下記の2つ。

  1. 円弧の長さを簡単に求められる
  2. 三角関数の微分積分が簡易な式で表現できる

円弧の長さを簡単に求められる

半径をかけるだけで、その角度に対する円弧の長さを求められます。

度数法の場合

$$2\pi r \times \frac{\theta}{360}$$

となりますが、
弧度法の場合、

$$r\theta$$

で求められます。

なんか納得いかない!

という方へ度数法と同じように計算をしてみます。

$$2\pi r \times \frac{\theta}{2\pi}\\
=r\theta$$

360度にあたる角度が\(2\pi\)であるため、
円周の\(2\pi r\)の部分の\(2\pi\)を打ち消してくれます。
ですので半径\(r\)をかけるだけで円周が求まります。

そもそも、弧度法はそうなるように単位を定義しています。
だから便利なのです。

三角関数の微分積分が簡易な式で表現できる

弧度法を使うと次の式が成り立ちます。

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

これが成り立つととても嬉しいことが起こります!
それは三角関数の微積分が綺麗な等式として表現できるからです。

$$(\sin x)’ = \cos x$$
$$(\cos x)’ = -\sin x$$
$$(\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$$
$$\int \sin x dx = -\cos x +C$$
$$\int \cos x dx = \sin x +C$$
$$\int \tan x dx = – \ln{|\cos x|} +C$$

度数法で計算すると

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{\pi}{180}$$

となり、いちいち\(\frac{\pi}{180}\)を掛けたり、割ったりしなくてはならず、
微分と積分の計算が煩雑になります。

例えば、度数法の場合こうなります。
$$(\sin x)’ = \frac{180}{\pi}\cos x$$

問題を解く受験生にとっても、
採点をする先生にとっても、
面倒なチェックが増えます。
これによって計算のミスだけでなく、
採点のミスが増えるリスクもあります。
(数学的な能力を測る上で本質的でない、
どうでもいいことであり、
双方にとって余計な手間がかかるだけです)

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弧度法のデメリット

弧度法を用いることでうける
デメリットは次の2つ。

  1. 代表的な角度が無理数になる
  2. 日常会話で使いにくい → 浸透しない

代表的な角度が無理数になる

1ラジアンとか3ラジアン、0.2ラジアン
というような切りのいい数字が使われることは
ほぼ0%です。
なぜなら使い道がないからです。
\(\pi\)(円周率)が付くことで、利便性が生まれます。

\(\pi\)が付くということは
無理数になり、永久に割り切れない数となります。

これを直感的にわかりにくい
と感じてしまうのも
仕方がないことかもしれません。

日常会話で使いにくい

数学Youtuberの鈴木貫太郎氏の言葉をそのままお借りします。

例:
度数法の場合「彼は考え方を180度変えた」

弧度法の場合「彼は考え方をπ変えた。」←イメージ湧かない

この人、何言っているの?

日常会話や小説では、使われないですね…

弧度法はこんな方におすすめ

 

微分積分をやるなら弧度法じゃないと、
いちいち\(\frac{\pi}{180}\)を掛けたり割ったりしてられないです!

参考動画

弧度法を使う理由
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